Giải bài 9.13 trang 60

Cho hàm số f(x)=4sin2(2x−π3)f(x)=4sin2(2x−π3)f\left( x \right) = 4{\sin ^2}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right).

Đề bài

Cho hàm số $f (x) = 4 \sin^{2} (2 x - \frac{π}{3})$ . Chứng minh rằng $| f^{'} (x) | \leq 8$ với mọi $x \in R$ . Tìm $x$ để $f^{'} (x) = 8$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số lượng giác và hàm hợp

${(\sin^{n} u)}^{'} = u^{'} . n \sin^{n - 1} u . \cos u;$

$| \sin u | \leq 1, \forall u \in R$

$\sin u = 1 \Leftrightarrow u = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in Z$

Lời giải chi tiết

Ta có:

$f^{'} (x) = 8 \sin (2 x - \frac{π}{3}) {(\sin (2 x - \frac{π}{3}))}^{'} = 8 \sin (2 x - \frac{π}{3}) \cos (2 x - \frac{π}{3}) {(2 x - \frac{π}{3})}^{'}$

$= 16 \sin (2 x - \frac{π}{3}) \cos (2 x - \frac{π}{3}) = 8 \sin (4 x - \frac{2 π}{3})$

Từ đó suy ra: $| f^{'} (x) | = 8 | \sin (4 x - \frac{2 π}{3}) | \leq 8, \forall x \in R$ .

$f^{'} (x) = 8 \Leftrightarrow \sin (4 x - \frac{2 π}{3}) = 1 \Leftrightarrow 4 x - \frac{2 π}{3} = \frac{π}{2} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{7 π}{24} + k \frac{π}{2}, k \in Z$ .