Giải bài 9.14 trang 60

Đề bài

Biết y là hàm số của x thoả mãn phương trình xy = 1 + lny. Tính y'(0).

Lời giải chi tiết

Tại x = 0, thay vào phương trình ta được:

$1+\ln y=0\iff y=e^{-1}=\frac{1}{e}$.

Đạo hàm hai vế phương trình, ta có:

${\left(xy\right)}^{\prime }={\left(1+\ln y\right)}^{\prime }\iff x^{\prime }y+x{y}^{\prime }=1^{\prime }+{\left(\ln y\right)}^{\prime }$

$\iff y+x{y}^{\prime }=\frac{y^{\prime }}{y}\iff y=\frac{y^{\prime }}{y}-x{y}^{\prime }\iff y=y^{\prime }\left(\frac{1}{y}-x\right)$

$\iff y=y^{\prime }\left(\frac{1}{y}-x\right)\iff y=y^{\prime }\left(\frac{1-xy}{y}\right)$

$\iff y^2=y^{\prime }\left(1-xy\right)\iff y^{\prime }=\frac{y^2}{1-xy}$.

Vậy $y^{\prime }\left(0\right)=\frac{{\left(\frac{1}{e}\right)}^2}{1-0.\frac{1}{e}}=\frac{1}{e^2}$.