Giải bài 9.15 trang 53

Cho tam giác ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng: a) (widehat {OBC} = {90^o} - widehat {BAC}); b) (widehat {BAH} = widehat {OAC}).

Đề bài

Cho tam giác ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng:

a) $\hat{O B C} = 90^{o} - \hat{B A C}$ ;

b) $\hat{B A H} = \hat{O A C}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh $\hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{B O C}$ , $\hat{O B C} = 90^{o} - \frac{\hat{B O C}}{2}$ nên $\hat{O B C} = 90^{o} - \hat{B A C}$ .

b) + Chứng minh $\hat{O A C} = 90^{o} - \hat{A B C}$ .

+ Gọi D là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC. Suy ra $\hat{B A H} = \hat{B A D} = 90^{o} - \hat{A B D}$ . Do đó, $\hat{B A H} = \hat{O A C}$ .

Lời giải chi tiết

a) Vì góc nội tiếp BAC và góc ở tâm BOC của (O) cùng chắn cung nhỏ BC nên $\hat{B A C} = \frac{1}{2} \hat{B O C}$ (1)

Tam giác BOC có $O B = O C$ nên tam giác BOC cân tại O. Suy ra $\hat{O B C} = \hat{O C B}$ .

Do đó, $\hat{O B C} = \frac{\hat{O B C} + \hat{O C B}}{2} = \frac{1}{2} (180^{o} - \hat{B O C}) = 90^{o} - \frac{\hat{B O C}}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\hat{O B C} = 90^{o} - \hat{B A C}$ .

b) Chứng minh tương tự câu a ta có: $\hat{O A C} = \frac{1}{2} (180^{o} - \hat{A O C}) = 90^{o} - \hat{A B C} (3)$ .

Gọi D là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC.

Ta có: $\hat{B A H} = \hat{B A D} = 90^{o} - \hat{A B D}$ (vì tam giác ABD vuông tại D) (4).

Từ (3) và (4) ta có: $\hat{B A H} = \hat{O A C}$ .