Giải bài 9.16 trang 53

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Chứng minh rằng: (widehat {BIC} = {90^o} + frac{{widehat {BAC}}}{2};widehat {CIA} = {90^o} + frac{{widehat {CBA}}}{2};widehat {AIB} = {90^o} + frac{{widehat {ACB}}}{2}).

Đề bài

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Chứng minh rằng:

$\hat{B I C} = 90^{o} + \frac{\hat{B A C}}{2}; \hat{C I A} = 90^{o} + \frac{\hat{C B A}}{2}; \hat{A I B} = 90^{o} + \frac{\hat{A C B}}{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Chứng minh $\hat{A B C} + \hat{A C B} = 180^{o} - \hat{B A C}$ , $\hat{I B C} = \frac{\hat{A B C}}{2}; \hat{I C B} = \frac{\hat{A C B}}{2}$ nên $\hat{I B C} + \hat{I C B} = 90^{o} - \frac{\hat{B A C}}{2}$ .

+ Do đó, $\hat{B I C} = 180^{o} - \hat{I B C} - \hat{I C B} = 90^{o} + \frac{\hat{B A C}}{2}$ .

+ Chứng minh tương tự ta có: $\hat{C I A} = 90^{o} + \frac{\hat{C B A}}{2}; \hat{A I B} = 90^{o} + \frac{\hat{A C B}}{2}$ .

Lời giải chi tiết

Vì I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC nên $\hat{I B C} = \frac{\hat{A B C}}{2}; \hat{I C B} = \frac{\hat{A C B}}{2}$ .

Tam giác ABC có:

$\hat{A B C} + \hat{A C B} + \hat{B A C} = 180^{o}$ nên $\hat{A B C} + \hat{A C B} = 180^{o} - \hat{B A C}$ .

Do đó, $\hat{I B C} + \hat{I C B} = \frac{\hat{A B C} + \hat{A C B}}{2} = 90^{o} - \frac{\hat{B A C}}{2}$ .

Tam giác BIC có:

$\hat{B I C} = 180^{o} - \hat{I B C} - \hat{I C B} = 180^{o} - 90^{o} + \frac{\hat{B A C}}{2} = 90^{o} + \frac{\hat{B A C}}{2} .$

Chứng minh tương tự ta có:

$\hat{C I A} = 90^{o} + \frac{\hat{C B A}}{2};$

$\hat{A I B} = 90^{o} + \frac{\hat{A C B}}{2}$ .