Giải bài 9.19 trang 54

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Tia AI cắt (O) tại X (khác A). Chứng minh rằng X là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC.

Đề bài

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Chứng minh $\hat{B I X} = \frac{\hat{B A C}}{2} + \frac{\hat{A B C}}{2}$ , $\hat{I B X} = \frac{\hat{A B C}}{2} + \frac{\hat{C A B}}{2}$ nên tam giác BIX cân tại X nên $X I = X B$ .

+ Chứng minh tương tự ta có: $X I = I C$ .

+ Suy ra, X là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC.

Lời giải chi tiết

Vì I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC nên $\hat{I A B} = \frac{\hat{B A C}}{2}; \hat{I B A} = \hat{I B C} = \frac{\hat{A B C}}{2}$ .

Ta có:

$\hat{B I X} = 180^{o} - \hat{B I A} = \hat{I A B} + \hat{I B A} = \frac{\hat{B A C}}{2} + \frac{\hat{A B C}}{2} (1)$

Vì góc CBX và góc CAX là các góc nội tiếp của (O) cùng chắn cung nhỏ CX nên $\hat{C B X} = \hat{C A X}$ .

Ta có:

$\hat{I B X} = \hat{I B C} + \hat{C B X} = \frac{\hat{A B C}}{2} + \hat{C A X} = \frac{\hat{A B C}}{2} + \frac{\hat{C A B}}{2} (2)$

Từ (1) và (2) ta có: $\hat{B I X} = \hat{I B X}$ nên tam giác BIX cân tại X. Do đó, $X I = X B$ .

Chứng minh tương tự ta có: $X I = I C$ . Vậy X là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC.