Giải bài 9.20 trang 54

Cho DeltaABCbacksimDeltaA′B′C′DeltaABCbacksimDeltaA′B′C′Delta ABCbacksim Delta A'B'C' với tỉ số đồng dạng (k > 0). Gọi (O, R) và (O’, R’) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và A’B’C’. Gọi (I, r) và (I’, r’) lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng (

Đề bài

Cho $Δ A B C ∽ Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ với tỉ số đồng dạng $k > 0$ . Gọi (O, R) và (O’, R’) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC và A’B’C’. Gọi (I, r) và (I’, r’) lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng $\frac{R}{R^{'}} = \frac{r}{r^{'}} = k$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh $\hat{B O C} = \hat{B^{'} O^{'} C^{'}}$ , $\hat{C B O} = \hat{C^{'} B^{'} O^{'}}$ , suy ra $Δ B O C ∽ Δ B^{'} O^{'} C^{'} (g . g)$ nên $\frac{R}{R^{'}} = \frac{O B}{O^{'} B^{'}} = \frac{O C}{O^{'} C^{'}} = \frac{r}{r^{'}} = k$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: $\hat{B O C} = 2 \hat{B A C}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm của đường tròn (O) cùng chắn cung BC).

$\hat{B^{'} O^{'} C^{'}} = 2 \hat{B^{'} A^{'} C^{'}}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm của đường tròn (O’) cùng chắn cung B’C’).

Tam giác BOC và tam giác B’O’C’ ta có:

$\hat{B O C} = 2 \hat{B A C} = 2 \hat{B^{'} A^{'} C^{'}} = \hat{B^{'} O^{'} C^{'}}$ ;

$\hat{C B O} = \frac{180^{o} - \hat{B O C}}{2} = \frac{180^{o} - \hat{B^{'} O^{'} C^{'}}}{2} = \hat{C^{'} B^{'} O^{'}}$

Do đó, $Δ B O C ∽ Δ B^{'} O^{'} C^{'} (g . g)$ .

Suy ra: $\frac{R}{R^{'}} = \frac{O B}{O^{'} B^{'}} = \frac{O C}{O^{'} C^{'}} = \frac{r}{r^{'}} = k$ .