Giải bài 9.21 trang 55

Đề bài

Cho hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC của tam giác ABC sao cho $AM.AB=AN.AC$.

a) Chứng minh rằng $\Delta AMN\backsim \Delta ACB$

b) Lấy E, F lần lượt là trung điểm của MN, BC. Chứng minh rằng $\widehat{EAB}=\widehat{FAC}$

Lời giải chi tiết

a) Vì $AM.AB=AN.AC$ nên $\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$

Tam giác AMN và tam giác ABC có:

$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$, góc A chung

Do đó, $\Delta AMN\backsim \Delta ACB$ (c – g – c)

b) Vì $\Delta AMN\backsim \Delta ACB$(cmt) nên $\widehat{AMN}=\hat{C}$

và $\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{CB}$

Mà E, F lần lượt là trung điểm của MN, BC nên $MN=2ME,BC=2FC$

Do đó: $\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{CB}=\frac{2ME}{2FC}=\frac{ME}{FC}$

Tam giác MAE và tam giác CAF có:

$\widehat{AME}=\hat{C}$ (cmt), $\frac{AM}{AC}=\frac{ME}{FC}$ (cmt)

Do đó, $\Delta AME\backsim \Delta ACF\left(c-g-c\right)$ nên $\widehat{EAB}=\widehat{FAC}$ (hai góc tương ứng)