Giải bài 9.24 trang 56

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) sao cho hai tia AB và DC cắt nhau tại điểm K, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm H. Kí hiệu oversetfrownADoversetfrownADoversetfrown{AD} là cung AD không chứa điểm B và oversetfrownBCoversetfrownBCoversetfrown{BC} là cung BC không chứa A. Chứng minh rằ

Đề bài

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) sao cho hai tia AB và DC cắt nhau tại điểm K, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm H. Kí hiệu $\overset{⌢}{A D}$ là cung AD không chứa điểm B và $\overset{⌢}{B C}$ là cung BC không chứa A. Chứng minh rằng:

a) $\hat{B K C} = \frac{1}{2}$ (sđ $\overset{⌢}{A D}$ - sđ $\overset{⌢}{B C}$ );

b) $\hat{B H C} = \frac{1}{2}$ (sđ $\overset{⌢}{A D}$ + sđ $\overset{⌢}{B C}$ ).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh $\hat{A B D} = \frac{1}{2}$ sđ $\overset{⌢}{A D}$ , $\hat{B D C} = \frac{1}{2}$ sđ $\overset{⌢}{B C}$ nên $\hat{B K C} = \hat{A B D} - \hat{B D K} = \frac{1}{2}$ (sđ $\overset{⌢}{A D}$ -sđ $\overset{⌢}{B C}$ ).

b) Chứng minh $\hat{B A C} = \frac{1}{2}$ sđ $\overset{⌢}{B C}$ . Suy ra $\hat{B H C} = 180^{o} - \hat{A H B} = \hat{A B H} + \hat{B A H} = \frac{1}{2}$

Lời giải chi tiết

a) Xét (O): $\hat{A B D} = \frac{1}{2}$ sđ $\overset{⌢}{A D}$ (góc nội tiếp chắn cung AD), $\hat{B D C} = \frac{1}{2}$ sđ $\overset{⌢}{B C}$ (góc nội tiếp chắn cung BC).

Do đó, $\hat{B K C} = \hat{A B D} - \hat{B D K} = \frac{1}{2}$ (sđ $\overset{⌢}{A D}$ - sđ $\overset{⌢}{B C}$ ).

b) Vì góc BAC là góc nội tiếp đường tròn (O) chắn cung BC nên $\hat{B A C} = \frac{1}{2}$ sđ $\overset{⌢}{B C}$ .

Do đó,

$\hat{B H C} = 180^{o} - \hat{A H B} = \hat{A B H} + \hat{B A H}$ $= \frac{1}{2}$ (sđ $\overset{⌢}{A D}$ + sđ $\overset{⌢}{B C}$ ).