Giải bài 9.25 trang 56

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) sao cho hai tia AB và DC cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng: a) DeltaIADbacksimDeltaICB,DeltaIACbacksimDeltaIDBDeltaIADbacksimDeltaICB,DeltaIACbacksimDeltaIDBDelta IADbacksim Delta ICB,Delta IACbacksim Delta IDB; b) (frac{{IC}}{{ID}} = frac{{AC}}{{AD}}.frac

Đề bài

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) sao cho hai tia AB và DC cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng:

a) $Δ I A D ∽ Δ I C B, Δ I A C ∽ Δ I D B$ ;

b) $\frac{I C}{I D} = \frac{A C}{A D} . \frac{B C}{B D}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Chứng minh $\hat{I A D} = \hat{I C B}$ , từ đó chứng minh được $Δ I A D ∽ Δ I C B (g . g)$ .

+ Chứng minh $\hat{I A C} = \hat{I D B}$ , từ đó chứng minh được $Δ I A C ∽ Δ I D B (g . g)$ .

b) Từ a ta suy ra: $\frac{I C}{I A} = \frac{B C}{A D}$ , $\frac{I A}{I D} = \frac{A C}{B D}$ . Do đó, $\frac{I C}{I D} = \frac{I C}{I A} . \frac{I A}{I D} = \frac{A C}{A D} . \frac{B C}{B D}$ .

Lời giải chi tiết

a) Vì tứ giác ABCD nội tiếp (O) nên $\hat{I A D} + \hat{B C D} = 180^{o}$ . Mà $\hat{I C B} + \hat{B C D} = 180^{o}$ nên $\hat{I A D} = \hat{I C B}$ .

Tam giác IAD và tam giác ICB có: góc I chung, $\hat{I A D} = \hat{I C B}$ nên $Δ I A D ∽ Δ I C B (g . g)$ .

Tam giác IAC và tam giác IDB có: góc I chung, $\hat{I A C} = \hat{I D B}$ (hai góc nội tiếp (O) cùng chắn cung BC)

Do đó, $Δ I A C ∽ Δ I D B (g . g)$ .

b) Vì $Δ I A D ∽ Δ I C B$ nên $\frac{I C}{I A} = \frac{B C}{A D}$ ; $Δ I A C ∽ Δ I D B$ nên $\frac{I A}{I D} = \frac{A C}{B D}$ .

Do đó, $\frac{I C}{I D} = \frac{I C}{I A} . \frac{I A}{I D} = \frac{A C}{A D} . \frac{B C}{B D}$ .