Giải bài 9.25 trang 56

Đề bài

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) sao cho hai tia AB và DC cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng:

a) $Δ I A D ∽ Δ I C B, Δ I A C ∽ Δ I D B$ ;

b) $\frac{I C}{I D} = \frac{A C}{A D} . \frac{B C}{B D}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Chứng minh $\hat{I A D} = \hat{I C B}$ , từ đó chứng minh được $Δ I A D ∽ Δ I C B (g . g)$ .

+ Chứng minh $\hat{I A C} = \hat{I D B}$ , từ đó chứng minh được $Δ I A C ∽ Δ I D B (g . g)$ .

b) Từ a ta suy ra: $\frac{I C}{I A} = \frac{B C}{A D}$ , $\frac{I A}{I D} = \frac{A C}{B D}$ . Do đó, $\frac{I C}{I D} = \frac{I C}{I A} . \frac{I A}{I D} = \frac{A C}{A D} . \frac{B C}{B D}$ .

Lời giải chi tiết

a) Vì tứ giác ABCD nội tiếp (O) nên $\hat{I A D} + \hat{B C D} = 180^{o}$ . Mà $\hat{I C B} + \hat{B C D} = 180^{o}$ nên $\hat{I A D} = \hat{I C B}$ .

Tam giác IAD và tam giác ICB có: góc I chung, $\hat{I A D} = \hat{I C B}$ nên $Δ I A D ∽ Δ I C B (g . g)$ .

Tam giác IAC và tam giác IDB có: góc I chung, $\hat{I A C} = \hat{I D B}$ (hai góc nội tiếp (O) cùng chắn cung BC)

Do đó, $Δ I A C ∽ Δ I D B (g . g)$ .

b) Vì $Δ I A D ∽ Δ I C B$ nên $\frac{I C}{I A} = \frac{B C}{A D}$ ; $Δ I A C ∽ Δ I D B$ nên $\frac{I A}{I D} = \frac{A C}{B D}$ .

Do đó, $\frac{I C}{I D} = \frac{I C}{I A} . \frac{I A}{I D} = \frac{A C}{A D} . \frac{B C}{B D}$ .