Giải bài 9.26 trang 103

Đề bài

Cho hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D' thỏa mãn AC=3AB, B′D′=3A′B′

a) Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác A'B'C'

b) Nếu A'B' = 2AB và diện tích hình chữ nhật ABCD là 2m² thì diện tích hình chữ nhật A'B'C'D' là bao nhiêu

Lời giải chi tiết

a) Ta có: AC=3AB nên $\frac{AB}{AC}=\frac{1}{3}$

Ta có: B′D′=3A′B′ nên $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{1}{3}$

Suy ra $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{AC}{B^{\prime }{D}^{\prime }}$

Xét tam giác vuông ABC (vuông tại B) và tam giác vuông B'A'D' (vuông tại A') có:

$\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{AC}{B^{\prime }{D}^{\prime }}$

$\widehat{BAC}=\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{D}^{\prime }}$

nên ΔABC $\backsim$ ΔA'B'D' (1)

- Xét ΔB'A'D' và ΔA′B′C′ có:

A'B' chung

A′B′ = C′D′ (A'B'C'D là hình chữ nhật)

B′D′ = A′C′(hai hình chéo của chữ nhật)

nên ΔB'A'D'=ΔA′B′C′ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ΔABC $\backsim$ ΔA′B′C′

b) - Vì A′B′=2AB nên $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}$

mà ΔABC ∽ ΔA'B'C' nên $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{AC}{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}$

Diện tích ABCD là: AB.BC

Diện tích A'B'C'D' là: A′B′.B′C′

Xét tỉ lệ hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D', có

$\frac{S_{ABCD}}{S_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}}\frac{AB.BC}{A^{\prime }{B}^{\prime }.B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}.\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

Do đó $S_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=4S_{ABCD}$

mà $S_{ABCD}=2m^2$ nên $S_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}}=4.2=8\left(m^2\right)$