Giải bài 9.26 trang 56

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm J. Chứng minh rằng: a) DeltaJADbacksimDeltaJBC,DeltaJABbacksimDeltaJDCDeltaJADbacksimDeltaJBC,DeltaJABbacksimDeltaJDCDelta JADbacksim Delta JBC,Delta JABbacksim Delta JDC; b) (frac{{JA}}{{JC}} = frac{{BA}}{{BC}}.frac

Đề bài

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm J. Chứng minh rằng:

a) $Δ J A D ∽ Δ J B C, Δ J A B ∽ Δ J D C$ ;

b) $\frac{J A}{J C} = \frac{B A}{B C} . \frac{D A}{D C}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Chứng minh $\hat{A J D} = \hat{B J C}$ , $\hat{J A D} = \hat{J B C}$ , suy ra $Δ J A D ∽ Δ J B C (g . g)$ .

+ Chứng minh $\hat{A J B} = \hat{D J C}$ , $\hat{J A B} = \hat{J D C}$ nên $Δ J A B ∽ Δ J D C (g . g)$ .

b) Từ a suy ra: $\frac{J B}{J C} = \frac{A B}{D C}$ ; $\frac{J A}{J B} = \frac{A D}{B C}$ nên $\frac{J A}{J C} = \frac{J A}{J B} . \frac{J B}{J C} = \frac{B A}{B C} . \frac{D A}{D C}$ .

Lời giải chi tiết

a) Tam giác JAD và tam giác JBC có: $\hat{A J D} = \hat{B J C}$ (hai góc đối đỉnh), $\hat{J A D} = \hat{J B C}$ (hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung nhỏ DC). Do đó, $Δ J A D ∽ Δ J B C (g . g)$ .

Tam giác JAB và tam giác JDC có: $\hat{A J B} = \hat{D J C}$ (hai góc đối đỉnh), $\hat{J A B} = \hat{J D C}$ (hai góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung nhỏ BC). Do đó, $Δ J A B ∽ Δ J D C (g . g)$ .

b) Vì $Δ J A B ∽ Δ J D C$ nên $\frac{J B}{J C} = \frac{A B}{D C}$ ; $Δ J A D ∽ Δ J B C$ nên $\frac{J A}{J B} = \frac{A D}{B C}$ .

Do đó, $\frac{J A}{J C} = \frac{J A}{J B} . \frac{J B}{J C} = \frac{B A}{B C} . \frac{D A}{D C}$ .