Giải bài 9.29 trang 57

Đề bài

Cho hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC của tam giác ABC sao cho $\hat{A B N} = \hat{A C M} .$ Gọi O là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng:

a) $A M . A B = A N . A C$

b) $O M . O C = O N . O B$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh): Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

+ Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng góc – góc): Nếu hai góc của tam giác lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ABN và tam giác ACM có:

$\hat{A} c h u n g, \hat{A B N} = \hat{A C M} (g t)$

Do đó, $Δ A B N ∽ Δ A C M (g - g)$

Suy ra: $\frac{A B}{A C} = \frac{A N}{A M}$ nên $A M . A B = A N . A C$

b) Tam giác BOM và tam giác CON có:

$\hat{M B O} = \hat{N C O}$ (gt), $\hat{M O B} = \hat{N O C}$ (hai góc đối đỉnh)

Nên $Δ B O M ∽ Δ C O N (g - g)$

Suy ra: $\frac{O M}{O N} = \frac{O B}{O C}$ nên $O M . O C = O N . O B$