Giải bài 9.3 trang 57

Cho hàm số

Đề bài

Cho hàm số $f (x) = {\begin{matrix} {(x - 1)}^{2}, & x \geq 0 \\ 1 - 2 x, & x < 0 \end{matrix}$ . Tính $f^{'} (0)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tìm giới hạn bên phải và bên trái tại điểm $x = 0$ .

Ta có $f (0) = 1$ và $\underset{x \to 0^{+}}{l i m} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$ , $\underset{x \to 0^{-}}{l i m} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$ .

Nếu $\underset{x \to 0^{+}}{l i m} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \underset{x \to 0^{-}}{l i m} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$ thì $f^{'} (0) = \underset{x \to 0^{+}}{l i m} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = \underset{x \to 0^{-}}{l i m} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0}$ .

Lời giải chi tiết

Tìm giới hạn bên phải và bên trái tại điểm $x = 0$ .

Ta có $f (0) = 1$ và

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{(x - 1 - 1) (x - 1 + 1)}{x}$

$= lim_{x \to 0^{+}} (x - 2) = 0 - 2 = - 2$

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{(1 - 2 x) - 1}{x} = lim_{x \to 0^{-}} (- 2) = - 2$ .

Vậy $f^{'} (0) = - 2$ .