Giải bài 9.32 trang 57

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BE, CF. Một đường tròn (O) đi qua hai điểm E, F và cắt các tia đối của hai tia BF, CE lần lượt tại X và Y. Chứng minh rằng XY song song với BC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Chứng minh bốn điểm B, E, F, C cùng nằm trên đường tròn có tâm là trung điểm của BC, đường kính BC, suy ra tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp.

+ Chứng minh $\hat{F B C} = 180^{o} - \hat{F E C} = 180^{o} - \hat{F E Y} = \hat{F X Y}$ , suy ra XY song song với BC.

Lời giải chi tiết

Vì các tam giác vuông BEC, BFC có chung cạnh huyền BC nên bốn điểm B, E, F, C cùng nằm trên đường tròn có tâm là trung điểm của BC và bán kính $\frac{B C}{2}$ . Do đó, tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp.

Vì tổng các góc đối nhau của các tứ giác nội tiếp BFEC và XFEY bằng 180 độ nên:

$\hat{F B C} = 180^{o} - \hat{F E C} = 180^{o} - \hat{F E Y} = \hat{F X Y}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên XY song song với BC.