Giải bài 9.35 trang 109

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Chứng minh ΔHBM ∽ ΔHAN 

Lời giải chi tiết

Xét $\Delta BAC$ và $\Delta BHA$ có:

$\hat{A}=\hat{H}$

$\hat{B}$ chung

nên $\Delta BAC\backsim \Delta BHA\left(g.g\right)$

suy ra $\frac{BA}{BH}=\frac{AC}{HA}$

Do đó $\frac{HB}{HA}=\frac{BA}{AC}\left(1\right)$

Xét $\Delta BAC$ và $\Delta AHC$ có:

$\hat{A}=\hat{H}$

$\hat{C}$ chung

nên $\Delta BAC\backsim \Delta AHC\left(g.g\right)$

suy ra $\widehat{HAC}=\widehat{ABC}\left(2\right)$

Vì M là trung điểm của AB nên $\frac{BM}{BA}=\frac{1}{2}$

Vì N là trung điểm của AC nên $\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}$

Suy ra $\frac{BM}{BA}=\frac{AN}{AC}$

do đó $\frac{BM}{AN}=\frac{BA}{AC}\left(3\right)$

Từ (1), (3) suy ra: $\frac{HB}{HA}=\frac{BM}{AN}$

Xét hai tam giác HBM và HAN có:

$\widehat{HAC}=\widehat{ABC}=\widehat{ABH}$

$\frac{HB}{HA}=\frac{BM}{AN}$

suy ra $\Delta HBM\backsim \Delta HAN$ (c.g.c)