Giải bài 9.35 trang 83

Đề bài

Kí hiệu $S_{A B C}$ là diện tích tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC.

a) Chúng minh $S_{G B C} = \frac{1}{3} S_{A B C}$

Gợi ý: Sử dụng $G M = \frac{1}{3} A M$ để chứng minh $S_{G M B} = \frac{1}{3} S_{A B M}, S_{G C M} = \frac{1}{3} S_{A C M}$ .

b) Chứng minh $S_{G C A} = S_{G A B} = \frac{1}{3} S_{A B C}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Kẻ $B P ⊥ A M$ , $C N ⊥ A M$

Sử dụng $G M = \frac{1}{3} A M$ để chứng minh $S_{G M B} = \frac{1}{3} S_{A B M}, S_{G C M} = \frac{1}{3} S_{A C M}$ .

-Chứng minh $S_{G A B} = S_{G A C}$

-Sử dụng $S_{A B C} = S_{G A B} + S_{G A C} + S_{G B C}$

Lời giải chi tiết

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $G M = \frac{1}{3} A M$

Kẻ $B P ⊥ A M$ ta có

$\begin{array}{l} S_{G M P} = \frac{1}{2} B P . G M \\ S_{A B M} = \frac{1}{2} B P . A M \end{array}$

Suy ra $\frac{S_{G M P}}{S_{A B M}} = \frac{\frac{1}{2} B P . G M}{\frac{1}{2} B P . A M} = \frac{G M}{A M} = \frac{1}{3}$ nên $S_{G M P} = \frac{1}{3} S_{A B M}$ (1)

Tương tự, kẻ $C N ⊥ A M$ , ta có

$\begin{array}{l} S_{G M C} = \frac{1}{2} C N . G M \\ S_{A C M} = \frac{1}{2} C N . A M \\ nên \frac{S_{G M C}}{S_{A C M}} = \frac{\frac{1}{2} C N . G M}{\frac{1}{2} C N . A M} = \frac{G M}{A M} = \frac{1}{3} suy ra S_{G M C} = \frac{1}{3} S_{A C M} (2) \end{array}$

Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có:

$\begin{array}{l} S_{G M B} + S_{G M C} = \frac{1}{3} (S_{A M C} + S_{A B M}) \\ suy ra S_{G B C} = \frac{1}{3} S_{A B C} \end{array}$

b) Xét $Δ B P M$ và $Δ C N M$ có:

$\hat{B P M} = \hat{C N M} = 90^{0}$

BM = CM ( M là trung điểm của BC)

$\hat{P M B} = \hat{C M N}$ (2 góc đối đỉnh)

nên $Δ B P M = Δ C N M$ (cạnh huyền – góc nhọn)

suy ra BP = CN (cạnh tương ứng)

Mà $S_{G A B} = \frac{1}{2} B P . A G$ , $S_{G A C} = \frac{1}{2} C N . A G$

Do đó $S_{G A B} = S_{G A C}$

Ta có: $A G = \frac{2}{3} A M$

$\begin{array}{l} S_{A B C} = S_{G A B} + S_{G A C} + S_{G C B} \\ S_{A B C} = S_{G A B} + S_{G A C} + \frac{1}{3} S_{A B C} \\ nên S_{A B C} - \frac{1}{3} S_{A B C} = 2 S_{G A C} \\ \frac{2}{3} S_{A B C} = 2 S_{G A C} \\ suy ra \frac{1}{3} S_{A B C} = S_{G A C} = S_{G A B} \end{array}$