Giải bài 9.35 trang 83

Đề bài

Kí hiệu $S_{ABC}$ là diện tích tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC.

a) Chúng minh $S_{GBC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$

Gợi ý: Sử dụng $GM=\frac{1}{3}AM$ để chứng minh $S_{GMB}=\frac{1}{3}{S}_{ABM},S_{GCM}=\frac{1}{3}{S}_{ACM}$.

b) Chứng minh $S_{GCA}=S_{GAB}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$.

Lời giải chi tiết

a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $GM=\frac{1}{3}AM$

Kẻ $BP\perp AM$ ta có

 $\begin{array}{c}{S}_{GMP}=\frac{1}{2}BP.GM\\ S_{ABM}=\frac{1}{2}BP.AM\end{array}$

Suy ra $\frac{S_{GMP}}{S_{ABM}}=\frac{\frac{1}{2}BP.GM}{\frac{1}{2}BP.AM}=\frac{GM}{AM}=\frac{1}{3}$ nên $S_{GMP}=\frac{1}{3}{S}_{ABM}$ (1)

Tương tự, kẻ $CN\perp AM$, ta có  

$\begin{array}{c}{S}_{GMC}=\frac{1}{2}CN.GM\\ S_{ACM}=\frac{1}{2}CN.AM\\ \text{nên}\frac{S_{GMC}}{S_{ACM}}=\frac{\frac{1}{2}CN.GM}{\frac{1}{2}CN.AM}=\frac{GM}{AM}=\frac{1}{3}\text{suy ra}{S}_{GMC}=\frac{1}{3}{S}_{ACM}\left(2\right)\end{array}$

Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có: 

$\begin{array}{c}{S}_{GMB}+S_{GMC}=\frac{1}{3}\left(S_{AMC}+S_{ABM}\right)\\ \text{suy ra}{S}_{GBC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\end{array}$

b) Xét $\Delta BPM$ và $\Delta CNM$ có:

$\widehat{BPM}=\widehat{CNM}={90}^0$

 BM = CM ( M là trung điểm của BC)

$\widehat{PMB}=\widehat{CMN}$ (2 góc đối đỉnh)

nên $\Delta BPM=\Delta CNM$ (cạnh huyền – góc nhọn)

suy ra BP = CN (cạnh tương ứng)

Mà $S_{GAB}=\frac{1}{2}BP.AG$, $S_{GAC}=\frac{1}{2}CN.AG$

Do đó $S_{GAB}=S_{GAC}$

Ta có: $AG=\frac{2}{3}AM$

$\begin{array}{c}{S}_{ABC}=S_{GAB}+S_{GAC}+S_{GCB}\\ S_{ABC}=S_{GAB}+S_{GAC}+\frac{1}{3}{S}_{ABC}\\ \text{nên}{S}_{ABC}-\frac{1}{3}{S}_{ABC}=2S_{GAC}\\ \frac{2}{3}{S}_{ABC}=2S_{GAC}\\ \text{suy ra}\frac{1}{3}{S}_{ABC}=S_{GAC}=S_{GAB}\end{array}$