Giải bài 9.38 trang 84

Đề bài

Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng

a) $AI<\frac{1}{2}\left(AB+AC\right)$

b) $AM<\frac{1}{2}\left(AB+AC\right)$

Lời giải chi tiết

a)

AI là đường vuông góc kẻ từ A xuống đoạn thẳng BC.

$\begin{array}{c}\Rightarrow \{\begin{array}{c}AI<AB\\ AI<AC\end{array}\\ \Rightarrow 2AI<AB+AC\\ \Rightarrow AI<\frac{1}{2}\left(AB+AC\right)\end{array}$ (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

b)

Lấy D sao cho M là trung điểm của AD

Xét $\Delta ABM$ và $DCM$ có

AM = DM ( do M là trung điểm của AD)

BM = CM ( do M là trung điểm của BC)

$\widehat{AMB}=\widehat{CMD}$( 2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta ABM=\Delta DCM\left(c-g-c\right)$

$\Rightarrow AB=CD$(2 cạnh tương ứng)

Xét  $\Delta ADC$ ta có: AD < AC + CD (bất đẳng thức tam giác)

$\Rightarrow$   2AM < AC + AB

$\Rightarrow$   AM < $\frac{1}{2}$(AB + AC)