Giải bài 9.4 trang 82

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và tam giác MNP cân tại đỉnh M. Biết rằng  $\widehat{BAC}=\widehat{PMN}$, AB=2MN. Chứng minh  ΔMNP ∽ ΔABC và tìm tỉ số đồng dạng 

Lời giải chi tiết

Vì ΔABC cân nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{\widehat{ABC}+\widehat{ACB}}{2}=\frac{{180}^o-\widehat{BAC}}{2}$ (1).

Tương tự, ΔMNP cân tại M nên $\widehat{MNP}=\frac{{180}^o-\widehat{PMN}}{2}$ (2).

Vì $\widehat{BAC}=\widehat{PMN}$ nên từ (1) và (2) ta suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{MNP}$.

Lấy B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB, AC thì ta có B’C’ // BC.

Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{A{B}^{\prime }{C}^{\prime }},\widehat{ACB}=\widehat{A{C}^{\prime }{B}^{\prime }}$ (các cặp góc đồng vị).

Hai tam giác AB’C’ và MNP có:

$\widehat{BAC}=\widehat{NMP}$ (theo giả thiết),

$A{B}^{\prime }=\frac{AB}{2}=MN$ (theo giả thiết),

$\widehat{A{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\widehat{ABC}=\widehat{MNP}$ (theo chứng minh trên).

Vậy ΔMNP = ΔAB’C’ (g.c.g). Mặt khác, ΔAB’C’ ∽ ΔABC ( vì B’C’ // BC).

Do đó ΔMNP ∽ ΔABC với tỉ số đồng dạng $k=\frac{A{B}^{\prime }}{AB}=\frac{1}{2}$.