Giải bài 9.43 trang 60

Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. a) Tìm một phép quay biến điểm A thành điểm B và biến điểm B thành điểm A. b) Phép quay thuận chiều ({90^o}) tâm O biến A thành C và biến B thành D. Chứng tỏ rằng ACBD là một hình vuông.

Đề bài

Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB.

a) Tìm một phép quay biến điểm A thành điểm B và biến điểm B thành điểm A.

b) Phép quay thuận chiều $90^{o}$ tâm O biến A thành C và biến B thành D. Chứng tỏ rằng ACBD là một hình vuông.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Phép quay thuận chiều $α^{o} (0^{o} < α^{o} < 360^{o})$ tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A khác điểm O thành điểm B thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OB thì điểm A tạo nên cung AB có số đo $α^{o}$ .

b) + Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), bán kính $\frac{A B}{2}$ .

+ Chứng minh CD là đường kính của (O), suy ra $\hat{A C B} = \hat{C B D} = \hat{B D A} = \hat{D A C} = 90^{o}$ nên ACBD là hình chữ nhật (1).

+ $Δ A O C = Δ C O B = Δ B O D = Δ D O A$ nên $A C = C B = B D = D A$ (2).

+ Từ (1) và (2) suy ra ACBD là hình vuông.

Lời giải chi tiết

a) Phép quay thuận chiều $180^{o}$ tâm O biến điểm A thành B và biến B thành A.

b) Vì $O A = O B = O C = O D$ nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), bán kính $\frac{A B}{2}$ .

Vì $\hat{A O C} = \hat{B O D} = 90^{o}$ nên OC và OD cùng vuông góc với AB. Do đó, O, C, D thẳng hàng. Suy ra, CD là đường kính của (O). Suy ra, $\hat{A C B} = \hat{C B D} = \hat{B D A} = \hat{D A C} = 90^{o}$ (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn của (O)). Suy ra, ACBD là hình chữ nhật (1).

Hơn nữa, $Δ A O C = Δ C O B = Δ B O D = Δ D O A$ (các tam giác vuông cân tại đỉnh O có các cạnh góc vuông bằng nhau) nên $A C = C B = B D = D A$ (2).

Từ (1) và (2) ta có: ACBD là hình vuông.