Giải bài 9.45 trang 111

Đề bài

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Biết AH=12cm, CH=9cm, BH=16cm. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông tại A

b) Chứng minh rằng MN ⊥ AC và CM ⊥ AN

c) Tính diện tích tam giác AMN 

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác AHB vuông tại H, có:

$A{H}^2+H{B}^2=A{B}^2$ (định lý Pythagore)

=> $A{B}^2={12}^2+{16}^2$

=> AB=20cm

Tương tự, có: $A{C}^2=A{H}^2+C{H}^2$ (áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHC)

=> $A{C}^2={12}^2+9^2$

=> AC=15cm

Có BC=9+16=25

Trong tam giác ABC, nhận thấy $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

=> Tam giác ABC vuông tại A

b) Xét tam giác AHB có: 

M là trung điểm của AH

B là trung điểm của BH

=> MN là đường trung bình của tam giác AHB

=> MN // AB

mà AB ⊥ AC (vì tam giác ABC vuông tại A)

=> MN ⊥ AC

Xét $\Delta ACN$ có $AH\perp CN$ (gt), $MN\perp AC$ (cmt), $AH\cap MN=M$. Vậy M là trực tâm của $\Delta ACN$, do đó $CM\perp AN$.

c) Ta có: $S_{\Delta AMN}=\frac{AM.HN}{2}=\frac{\frac{AH}{2}.\frac{BH}{2}}{2}=\frac{AH.BH}{8}=\frac{12.16}{8}=24\left(c{m}^2\right)$