Giải bài 9.45 trang 63

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Từ H kẻ đường thẳng HE vuông góc với AB (E thuộc AB). Chứng minh rằng:

a) $\Delta ABC\backsim \Delta HAC$ và $C{A}^2=CH.CB$

b) $\frac{AH}{BC}=\frac{HE}{AB}$

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}={90}^0$

Vì AH là đường cao trong tam giác ABC nên $AH\perp BC$.

Do đó, $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}={90}^0$

Tam giác ABC và tam giác HAC có: $\widehat{BAC}=\widehat{AHC}={90}^0,\hat{C}$ chung

Do đó, $\Delta ABC\backsim \Delta HAC\left(g-g\right)$

Suy ra: $\frac{AC}{HC}=\frac{BC}{AC}$ nên $C{A}^2=CH.CB$

b) Vì HE vuông góc với AB (E thuộc AB) nên $\widehat{AEH}={90}^0$

Tam giác AHE và tam giác CBA có:

$\widehat{AEH}=\widehat{BAC}={90}^0,\widehat{HAE}=\hat{C}$ (cùng phụ với góc CAH)

Do đó, $\Delta AHE\backsim \Delta CBA\left(g-g\right)$. Suy ra $\frac{AH}{BC}=\frac{HE}{AB}$