Giải bài 9.45 trang 63

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Từ H kẻ đường thẳng HE vuông góc với AB (E thuộc AB). Chứng minh rằng:

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Từ H kẻ đường thẳng HE vuông góc với AB (E thuộc AB). Chứng minh rằng:

a) $Δ A B C ∽ Δ H A C$ và $C A^{2} = C H . C B$

b) $\frac{A H}{B C} = \frac{H E}{A B}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để chứng minh hai tam giác đồng dạng: Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{B A C} = 90^{0}$

Vì AH là đường cao trong tam giác ABC nên $A H ⊥ B C$ .

Do đó, $\hat{A H B} = \hat{A H C} = 90^{0}$

Tam giác ABC và tam giác HAC có: $\hat{B A C} = \hat{A H C} = 90^{0}, \hat{C}$ chung

Do đó, $Δ A B C ∽ Δ H A C (g - g)$

Suy ra: $\frac{A C}{H C} = \frac{B C}{A C}$ nên $C A^{2} = C H . C B$

b) Vì HE vuông góc với AB (E thuộc AB) nên $\hat{A E H} = 90^{0}$

Tam giác AHE và tam giác CBA có:

$\hat{A E H} = \hat{B A C} = 90^{0}, \hat{H A E} = \hat{C}$ (cùng phụ với góc CAH)

Do đó, $Δ A H E ∽ Δ C B A (g - g)$ . Suy ra $\frac{A H}{B C} = \frac{H E}{A B}$