Giải bài 9.46 trang 111

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC . Chứng minh rằng:

a) $\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}$, từ đó suy ra $AE=\frac{AB.AC}{AB+AC}$

b) ΔDFC ∽ ΔABC 

c) DF=DB

Lời giải chi tiết

a) Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ suy ra $DB.AC=DC.AB(\ast )$

Ta có: $BD.\left(AB+AC\right)$$=BD.AB+BD.AC$

$\begin{array}{c}=DB.AB+DC.AB\\ =AB.\left(DB+DC\right)=AB.BC\end{array}$

Do đó $BD.\left(AB+AC\right)=AB.BC$ suy ra $\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}\left(1\right)$

Xét $\Delta CED$ và $\Delta CAB$ có:

$\hat{C}chung$

$\hat{A}=\hat{E}$

nên  $\Delta CED\backsim \Delta CAB$ (g.g)

Suy ra $\frac{CE}{CA}=\frac{CD}{CB}$

$\begin{array}{c}\frac{AC-AE}{AC}=\frac{BC-BD}{BC}\\ 1-\frac{AE}{AC}=1-\frac{DB}{BC}\\ \frac{AE}{AC}=\frac{DB}{BC}\left(2\right)\end{array}$

Từ (1), (2) suy ra: $\frac{AE}{AC}=\frac{AB}{AB+AC}$ nên $AE=\frac{AB.AC}{AB+AC}$

b) Xét $\Delta DFC$ và $\Delta ABC$ có:

$\widehat{FDC}=\widehat{BAC}\left(={90}^{\circ }\right)$

$\hat{C}chung$

suy ra $\Delta DFC\backsim \Delta ABC$. (g.g)

c) Từ $\Delta DFC\backsim \Delta ABC$ suy ra $\frac{DF}{AB}=\frac{DC}{AC}$

nên $DF=\frac{AB.DC}{AC}\left(3\right)$

Từ (*) ta có: $DB=\frac{DC.AB}{AC}\left(4\right)$

Từ (3), (4) suy ra: DF = DB