Giải bài 9.47 trang 63

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng: a) (HA.HD = HB.HE = HC.HF);

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:

a) $H A . H D = H B . H E = H C . H F$ ;

b) $Δ A F C ∽ Δ A E B$ và $A F . A B = A E . A C;$

c) $Δ B D F ∽ Δ E D C$ và DA là tia phân giác của góc EDF.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để chứng minh: Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

+ Sử dụng kiến thức về trường hợp đồng dạng của tam giác để chứng minh: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết

a) Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên $A D ⊥ B C, B E ⊥ A C, C F ⊥ A B$

nên $\hat{A E B} = \hat{B E C} = \hat{A D B} = \hat{A D C} = \hat{C F A} = \hat{C F B} = 90^{0}$

Tam giác AHE và tam giác BHD có:

$\hat{A E H} = \hat{H D B} = 90^{0}$ (cmt), $\hat{A H E} = \hat{B H D}$ (hai góc đối đỉnh). Do đó, $Δ A H E ∽ Δ B H D (g - g)$

Suy ra: $\frac{A H}{B H} = \frac{H E}{H D}$ nên $H A . H D = H B . H E$ (1)

Tam giác HBF và tam giác HCE có:

$\hat{H F B} = \hat{H E C} = 90^{0}$ (cmt), $\hat{B H F} = \hat{E H C}$ (hai góc đối đỉnh). Do đó, $Δ H B F ∽ Δ H C E (g - g)$

Suy ra: $\frac{H B}{H C} = \frac{H F}{H E}$ nên $H B . H E = H C . H F$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $H A . H D = H B . H E = H C . H F$

b) Tam giác AFC và tam giác AEB có:

$\hat{A F C} = \hat{A E C} = 90^{0}, \hat{B A C} c h u n g$

Do đó, $Δ A F C ∽ Δ A E B (g - g)$

Suy ra: $\frac{A F}{A E} = \frac{A C}{A B}$ nên $A F . A B = A E . A C$

c) Vì $H A . H D = H B . H E$ nên $\frac{H A}{H E} = \frac{H B}{H D}$

Tam giác HAB và tam giác HED có: $\frac{H A}{H E} = \frac{H B}{H D}$ (cmt), $\hat{A H B} = \hat{H E D}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $Δ A H B ∽ Δ E H D (c - g - c)$ , suy ra: $\hat{H A B} = \hat{H E D}$

Mà $\hat{H A B} + \hat{F B D} = \hat{H E D} + \hat{D E C} (= 90^{0})$

Do đó, $\hat{F B D} = \hat{D E C}$

Chứng minh tương tự ta có: $\hat{B F D} = \hat{E C D}$

Tam giác BDF và tam giác EDC có: $\hat{F B D} = \hat{D E C}$ (cmt), $\hat{B F D} = \hat{E C D}$ (cmt). Do đó, $Δ B D F ∽ Δ E D C (g - g)$

Suy ra: $\hat{B D F} = \hat{E D C}$

Mà $\hat{B D F} + \hat{F D H} = \hat{E D C} + \hat{H D E} (= 90^{0})$

Do đó, $\hat{F D H} = \hat{H D E}$

Vậy DA là tia phân giác của góc EDF