Giải bài 9.48 trang 63

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:

a) $\Delta BDF\backsim \Delta BAC$ và $\Delta CDE\backsim \Delta CAB$;

b) $BF.BA+CE.CA=B{C}^2$

Lời giải chi tiết

a) Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên $AD\perp BC,BE\perp AC,CF\perp AB$

nên $\widehat{AEB}=\widehat{BEC}=\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=\widehat{CFA}=\widehat{CFB}={90}^0$

Tam giác BDA và tam giác BFC có:

$\widehat{BDA}=\widehat{BFC}\left(={90}^0\right),\widehat{ABC}chung$

Do đó, $\Delta BDA\backsim \Delta BFC\left(g-g\right)$ nên $\frac{BD}{BF}=\frac{BA}{BC}$

Suy ra $\frac{BD}{BA}=\frac{BF}{BC}$

Tam giác BDF và tam giác BAC có:$\frac{BD}{BA}=\frac{BF}{BC},\widehat{ABC}chung$

Do đó, $\Delta BDF\backsim \Delta BAC\left(c-g-c\right)$

Tam giác CDA và tam giác CEB có:

$\widehat{CDA}=\widehat{BEC}\left(={90}^0\right),\widehat{ACB}chung$

Do đó, $\Delta CDA\backsim \Delta CEB\left(g-g\right)$ nên $\frac{CD}{CE}=\frac{CA}{BC}$

Suy ra $\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{BC}$

Tam giác CDE và tam giác CAB có: $\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{BC},\widehat{ACB}chung$

Do đó, $\Delta CDE\backsim \Delta CAB\left(c-g-c\right)$

b) Theo chứng minh phần a ta có:

+) $\frac{BD}{BA}=\frac{BF}{BC}$ nên $BF.BA=BD.BC$

+) $\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{BC}$ nên $CE.CA=CD.BC$

Suy ra: $BF.BA+CE.CA=BD.BC+CD.BC$$=BC\left(BD+CD\right)=B{C}^2$