Giải bài 9.51 trang 64

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:

a) $A M . A B = A H^{2}$ và $A M . A B = A N . A C$

b) $Δ A M N ∽ Δ A C B$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng góc – góc) để chứng minh tam giác đồng dạng: Nếu hai góc của tam giác lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

b) Sử dụng kiến thức về trường hợp đồng dạng của tam giác để chứng minh: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{B A C} = 90^{0}$

Vì $A H ⊥ B C$ (do AH là đường cao của tam giác ABC) nên $\hat{A H B} = \hat{A H C} = 90^{0}$

Vì $H M ⊥ A B$ nên $\hat{H M A} = \hat{H M B} = 90^{0}$

Vì $H N ⊥ A C$ nên $\hat{H N A} = \hat{H N C} = 90^{0}$

Tam giác AMH và tam giác AHB có:

$\hat{A M H} = \hat{A H B} = 90^{0}, \hat{H A B} c h u n g$

Do đó, $Δ A M H ∽ Δ A H B (g - g)$

Suy ra: $\frac{A M}{A H} = \frac{A H}{A B}$ nên $A M . A B = A H^{2}$ (1)

Tam giác ANH và tam giác AHC có:

$\hat{A N H} = \hat{A H C} = 90^{0}, \hat{H A C} c h u n g$

Do đó, $Δ A N H ∽ Δ A H C (g - g)$

Suy ra: $\frac{A N}{A H} = \frac{A H}{A C}$ nên $A N . A C = A H^{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $A M . A B = A N . A C$

b) Theo phần a ta có: $A M . A B = A N . A C$ nên $\frac{A M}{A C} = \frac{A N}{A B}$

Tam giác AMN và tam giác ACB có: $\hat{B A C} c h u n g, \frac{A M}{A C} = \frac{A N}{A B}$

Do đó, $Δ A M N ∽ Δ A C B (c - g - c)$