Giải bài 9.52 trang 64

Đề bài

Cho ABC và A’B’C’ lần lượt là các tam giác vuông tại đỉnh A và A’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Chứng minh rằng:

a) $B{C}^2+3B{A}^2=4B{M}^2$ và $B^{\prime }C{}^{\prime 2}+3B^{\prime }A{}^{\prime 2}=4B^{\prime }M{}^{\prime 2}$;

b) Nếu $\frac{BC}{BM}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{B^{\prime }{M}^{\prime }}$ thì $\Delta ABC\backsim \Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABC vuông tại A có: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABM vuông tại A có: $B{M}^2=A{B}^2+A{M}^2$

Do đó, $4B{M}^2=4\left(A{B}^2+A{M}^2\right)=4A{B}^2+A{C}^2=3A{B}^2+B{C}^2$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác A’B’C’ vuông tại A’ có: $B^{\prime }C{}^{\prime 2}=A^{\prime }B{}^{\prime 2}+A^{\prime }C{}^{\prime 2}$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác A’B’M’ vuông tại A’: $B^{\prime }M{}^{\prime 2}=A^{\prime }B{}^{\prime 2}+A^{\prime }M{}^{\prime 2}$

Do đó, $4B^{\prime }M{}^{\prime 2}=4\left(A^{\prime }B{}^{\prime 2}+A^{\prime }M{}^{\prime 2}\right)=4A^{\prime }B{}^{\prime 2}+A^{\prime }C{}^{\prime 2}=3A^{\prime }B{}^{\prime 2}+B^{\prime }C{}^{\prime 2}$

b) Giả sử $\frac{BC}{BM}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{B^{\prime }{M}^{\prime }}$. Theo phần a ta có: $\frac{B{C}^2}{B{M}^2}+3\frac{B{A}^2}{B{M}^2}=4=\frac{B^{\prime }C{}^{\prime 2}}{B^{\prime }M{}^{\prime 2}}+3\frac{B^{\prime }A{}^{\prime 2}}{B^{\prime }M{}^{\prime 2}}$

Suy ra: $\frac{B{A}^2}{B{M}^2}=\frac{B^{\prime }A{}^{\prime 2}}{B^{\prime }M{}^{\prime 2}}hay\frac{BA}{BM}=\frac{B^{\prime }{A}^{\prime }}{B^{\prime }{M}^{\prime }}$

Do đó, $\frac{BC}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{BM}{B^{\prime }{M}^{\prime }}=\frac{BA}{B^{\prime }{A}^{\prime }}$

Lại có: $\widehat{BAC}=\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}={90}^0$ nên $\Delta ABC\backsim \Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\left(ch-cgv\right)$