Giải bài 9.53 trang 64

Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.

Đề bài

Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.

a) Chứng minh rằng $C M ⊥ D N$ .

b) Biết $A B = 4 c m,$ hãy tính diện tích tam giác ONC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Chứng minh $Δ C B M = Δ D C N$ để suy ra $\hat{B M C} = \hat{D N C}$

+ Mà $\hat{B M C} + \hat{M C B} = 90^{0}$ nên $\hat{D N C} + \hat{M C N} = 90^{0}$

b) + Sử dụng kiến thức định lí Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

+ Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng góc – góc) để chứng minh tam giác đồng dạng: Nếu hai góc của tam giác lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết

a) Vì ABCD là hình vuông nên $A B = B C = C D = D A = 4 c m$ và $\hat{D A B} = \hat{A B C} = \hat{B C D} = \hat{C D A} = 90^{0}$

Vì M là trung điểm của AB nên $A M = M B = \frac{1}{2} A B$

Vì N là trung điểm của BC nên $N B = N C = \frac{1}{2} B C$

Mà $A B = B C$ nên $A M = M B = N B = N C$

Tam giác CBM và tam giác DCN có:

$\hat{B} = \hat{N C D} = 90^{0}, M B = N C (c m t), B C = C D (c m t)$

Do đó, $Δ C B M = Δ D C N (c - g - c)$ . Suy ra $\hat{B M C} = \hat{D N C}$

Mà $\hat{B M C} + \hat{M C B} = 90^{0}$ nên $\hat{D N C} + \hat{M C N} = 90^{0}$

Tam giác CON có: $\hat{D N C} + \hat{M C N} = 90^{0}$ nên $\hat{N O C} = 90^{0}$ . Do đó, $C M ⊥ D N$ tại O

b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác CND vuông tại C ta có: $N D^{2} = N C^{2} + C D^{2} = 5 N C^{2} .$

Do đó, $\frac{N C}{N D} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Tam giác NOC và tam giác CND có: $\hat{N O C} = \hat{N C D} = 90^{0}, \hat{O N C} c h u n g$

Do đó, $Δ O N C ∽ Δ C N D (g - g)$

Suy ra: $\frac{O N}{C N} = \frac{O C}{C D} = \frac{N C}{N D} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Vậy diện tích tam giác ONC là: $\frac{1}{2} O C . O N = \frac{1}{5} \frac{C N . C D}{2} = 0, 8 (c m^{2})$