Giải bài 9.66 trang 69

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.

a) Biết $AB=3cm,AC=4cm,$ hãy tính độ dài các đoạn thẳng AH, BH, CH.

b) Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Chứng minh rằng $\Delta HMN\backsim \Delta ABC$

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}={90}^0$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=3^2+4^2=25$ nên $BC=5cm$

Vì AH là đường cao trong tam giác ABC nên $AH\perp BC$.

Do đó, $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}={90}^0$

Tam giác ABC và tam giác HAC có: $\widehat{BAC}=\widehat{AHC}={90}^0,\hat{C}$ chung

Do đó, $\Delta ABC\backsim \Delta HAC\left(g-g\right)$

Suy ra: $\frac{AC}{HC}=\frac{BC}{AC}$ nên $CH=\frac{C{A}^2}{CB}=\frac{4^2}{5}=\frac{16}{5}\left(cm\right)$

Do đó, $BH=BC-CH=5-\frac{16}{5}=\frac{9}{5}\left(cm\right)$

Vì $\Delta ABC\backsim \Delta HAC\left(cmt\right)$ nên $\frac{AB}{HA}=\frac{BC}{AC}$

Do đó, $AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{3.4}{5}=\frac{12}{5}\left(cm\right)$

b) Vì $HM\perp AB\Rightarrow \widehat{HMA}={90}^0$, $HN\perp AC\Rightarrow \widehat{HNA}={90}^0$

Tứ giác ANHM có: $\widehat{HMA}=\widehat{NAM}=\widehat{HNA}={90}^0$ nên tứ giác ANHM là hình chữ nhật. Do đó, $\widehat{NHM}={90}^0$

Gọi D là giao điểm của hai đường chéo trong hình chữ nhật NHMA nên $DH=DM$. Do đó, tam giác DHM cân tại D.

Suy ra, $\widehat{DHM}=\widehat{DMH}$

Lại có: $\widehat{DHM}=\hat{B}\left(={90}^0-\widehat{MHB}\right)$ nên $\widehat{DMH}=\hat{B}$

Tam giác HMN và ABC có: $\widehat{NHM}=\widehat{BAC}={90}^0,\widehat{DMH}=\hat{B}\left(cmt\right)$

Do đó, $\Delta HMN\backsim \Delta ABC$(g – g)