Giải bài 9.67 trang 69

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng:

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng:

a) $Δ M N P ∽ Δ A B C$ và tìm tỉ số đồng dạng

b) $Δ A B N ∽ Δ C A M$ và $Δ A C P ∽ Δ B A M$

c) $A N ⊥ C M$ và $A P ⊥ B M$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về trường hợp đồng dạng của tam giác để chứng minh tam giác đồng dạng: Trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh: Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

b) Sử dụng kiến thức về trường hợp đồng dạng của tam giác để chứng minh tam giác đồng dạng:

+ Trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

+ Trường hợp đồng dạng góc – góc: Nếu hai góc của tam giác lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

c) Sử dụng kiến thức về 3 đường cao trong tam giác: 3 đường cao trong tam giác đồng quy tại một điểm, điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác CAH có P, M lần lượt là trung điểm của CH, AH nên MP là đường trung bình của tam giác ACH, suy ra $\frac{M P}{A C} = \frac{1}{2}$

Tam giác BAH có N, M lần lượt là trung điểm của BH, AH nên MN là đường trung bình của tam giác ABH, suy ra $\frac{M N}{A B} = \frac{1}{2}$

Ta có: $\frac{P N}{C B} = \frac{P H + H N}{C H + H B} = \frac{P H + H N}{2 (P H + H N)} = \frac{1}{2}$

Tam giác MNP và tam giác ABC có:

$\frac{M P}{A C} = \frac{P N}{C B} = \frac{M N}{A B} = \frac{1}{2}$ nên $Δ M N P ∽ Δ A B C (c - c - c)$ với tỉ số đồng dạng bằng $\frac{1}{2}$

b) Tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{B A C} = 90^{0}$

Vì AH là đường cao trong tam giác ABC nên $A H ⊥ B C$ . Do đó, $\hat{A H B} = \hat{A H C} = 90^{0}$

Tam giác ABH và tam giác HAC có:

$\hat{A H B} = \hat{A H C} = 90^{0}, \hat{A B H} = \hat{C A H} (= 90^{0} - \hat{A C H})$

Do đó, $Δ H B A ∽ Δ H A C (g - g)$ . Suy ra: $\frac{A B}{A C} = \frac{B H}{A H} = \frac{B N}{M A}$

Tam giác ABN và tam giác CAM có:

$\hat{A B N} = \hat{C A M} (c m t), \frac{A B}{A C} = \frac{B N}{M A} (c m t)$

Do đó, $Δ A B N ∽ Δ C A M (c - g - c)$

Vì $Δ H B A ∽ Δ H A C (g - g)$ . Suy ra: $\frac{A B}{A C} = \frac{A H}{C H} = \frac{A M}{C P}$

Tam giác ACP và tam giác BAM có:

$\hat{A C P} = \hat{M A B} (= 90^{0} - \hat{C A H}), \frac{A B}{A C} = \frac{A M}{C P} (c m t)$

Do đó, $Δ A C P ∽ Δ B A M (c - g - c)$

c) Vì MN là đường trung bình trong tam giác AHB nên MN//AB, mà $A B ⊥ A C$ nên $M N ⊥ A C$

Trong tam giác CAN có: $M N ⊥ A C$ nên MN là đường cao trong tam giác CAN, AH là đường cao trong tam giác CAN, mà M là giao điểm của MN và AH nên M là trực tâm trong tam giác CAN. Vậy $C M ⊥ A N$

Vì MP là đường trung bình trong tam giác CAH nên MP//AC, mà $A B ⊥ A C$ nên $M P ⊥ A B$

Trong tam giác PAB có: $M P ⊥ A B$ nên MP là đường cao trong tam giác PAB, AH là đường cao trong tam giác PAB, mà M là giao điểm của MP và AH nên M là trực tâm trong tam giác PAB. Vậy $A P ⊥ B M$