Giải bài 9.68 trang 69

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH, AB.

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH, AB. Chứng minh rằng $Δ C A M ∽ Δ C B N$ và $Δ C H M ∽ Δ C A N$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng góc – góc) để chứng minh tam giác đồng dạng: Nếu hai góc của tam giác lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

+ Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp cạnh – góc – cạnh) để chứng minh tam giác đồng dạng: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{B A C} = 90^{0}$

Vì AH là đường cao trong tam giác ABC nên $A H ⊥ B C$ .

Do đó, $\hat{A H B} = \hat{A H C} = 90^{0}$

Tam giác ABC và tam giác HAC có: $\hat{B A C} = \hat{A H C} = 90^{0}, \hat{C}$ chung. Do đó, $Δ A B C ∽ Δ H A C (g - g)$

Suy ra, $\frac{B C}{C A} = \frac{A B}{H A} = \frac{2 B N}{2 A M} = \frac{B N}{A M}$ hay $\frac{A C}{C B} = \frac{A M}{B N}$

Tam giác CAM và tam giác CNB có:

$\hat{C A M} = \hat{B} (= 90^{0} - \hat{B A H}), \frac{A C}{C B} = \frac{A M}{B N} (c m t)$

Do đó, $Δ C A M ∽ Δ C N B (c - g - c)$

Vì $Δ A B C ∽ Δ H A C \Rightarrow \frac{A C}{H C} = \frac{A B}{A H} = \frac{2 A N}{2 H M} = \frac{A N}{H M}$ hay $\frac{H C}{A C} = \frac{H M}{A N}$

Tam giác CHM và CAN có: $\hat{C H M} = \hat{C A N} = 90^{0}, \frac{H C}{A C} = \frac{H M}{A N} (c m t)$

Do đó, $Δ C H M ∽ Δ C A N (c - g - c)$