Giải bài 9.68 trang 69

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH, AB. Chứng minh rằng $\Delta CAM\backsim \Delta CBN$ và $\Delta CHM\backsim \Delta CAN$

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{BAC}={90}^0$

Vì AH là đường cao trong tam giác ABC nên $AH\perp BC$.

Do đó, $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}={90}^0$

Tam giác ABC và tam giác HAC có: $\widehat{BAC}=\widehat{AHC}={90}^0,\hat{C}$ chung. Do đó, $\Delta ABC\backsim \Delta HAC\left(g-g\right)$

Suy ra, $\frac{BC}{CA}=\frac{AB}{HA}=\frac{2BN}{2AM}=\frac{BN}{AM}$ hay $\frac{AC}{CB}=\frac{AM}{BN}$

Tam giác CAM và tam giác CNB có:

$\widehat{CAM}=\hat{B}\left(={90}^0-\widehat{BAH}\right),\frac{AC}{CB}=\frac{AM}{BN}\left(cmt\right)$

Do đó, $\Delta CAM\backsim \Delta CNB\left(c-g-c\right)$

Vì $\Delta ABC\backsim \Delta HAC\Rightarrow \frac{AC}{HC}=\frac{AB}{AH}=\frac{2AN}{2HM}=\frac{AN}{HM}$ hay $\frac{HC}{AC}=\frac{HM}{AN}$

Tam giác CHM và CAN có: $\widehat{CHM}=\widehat{CAN}={90}^0,\frac{HC}{AC}=\frac{HM}{AN}\left(cmt\right)$

Do đó, $\Delta CHM\backsim \Delta CAN\left(c-g-c\right)$