Giải bài 9.7 trang 90

Đề bài

Cho AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Cho A'M', B'N', C'P' là các đường trung tuyến của tam giác A'B'C'. Biết rằng ΔA’B’C’ ∽ ΔABC 

Chứng minh rằng $\frac{A^{\prime }{M}^{\prime }}{AM}=\frac{B^{\prime }{N}^{\prime }}{BN}=\frac{C^{\prime }{P}^{\prime }}{CP}$

Lời giải chi tiết

Vì ΔA’B’C’ ∽ ΔABC 

nên ΔA’M’B’ ∽ ΔAMB 

Suy ra $\frac{A^{\prime }{M}^{\prime }}{AM}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}\left(1\right)$ (1)

 Vì $\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ ∽ ΔABC 

nên ΔA′B′N′ ∽ ΔABN 

Suy ra $\frac{B^{\prime }{N}^{\prime }}{BN}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}$ (2)

Từ (1) và (2), ta có: $\frac{A^{\prime }{M}^{\prime }}{AM}=\frac{B^{\prime }{N}^{\prime }}{BN}$(3)

 Vì ΔA’B’C’ ∽ ΔABC 

nên  Vì ΔA’C’P’ ∽ ΔACP 

Suy ra $\frac{C^{\prime }{P}^{\prime }}{CP}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}$ (4)

 Vì ΔA′B′C′ ∽ ΔABC 

nên ΔA′M′C′ ∽ ΔAMC 

Suy ra $\frac{A^{\prime }{M}^{\prime }}{AM}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}$ (5)

Từ (4) và (5), ta có: $\frac{C^{\prime }{P}^{\prime }}{CP}=\frac{A^{\prime }{M}^{\prime }}{AM}$ (6)

Từ (3) và (6), ta có: $\frac{A^{\prime }{M}^{\prime }}{AM}=\frac{B^{\prime }{N}^{\prime }}{BN}=\frac{C^{\prime }{P}^{\prime }}{CP}$