Giải bài 9 trang 11

Tìm mmm để phương trình x2+x+4x+1=mx2+x+4x+1=m\frac{{{x^2} + x + 4}}{{x + 1}} = m có hai nghiệm phân biệt.

Đề bài

Tìm $m$ để phương trình $\frac{x^{2} + x + 4}{x + 1} = m$ có hai nghiệm phân biệt.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét hàm số $y = \frac{x^{2} + x + 4}{x + 1}$ , lập bảng biến thiên, xét sự tương giao của đồ thị hàm số với đường thẳng $y = m$ và kết luận.

Lời giải chi tiết

Đặt $y = \frac{x^{2} + x + 4}{x + 1}$ .

Tập xác định: $D = R ∖ {- 1}$ .

Ta có

$y^{'} = \frac{{(x^{2} + x + 4)}^{'} (x + 1) - (x^{2} + x + 4) {(x + 1)}^{'}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(2 x + 1) (x + 1) - (x^{2} + x + 4)}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x - 3}{{(x + 1)}^{2}}$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = - 3$ .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biển thiên, ta thấy đường thẳng $y = m$ giao với đồ thị của hàm số tại hai nghiệm phân biệt khi $m > 3$ hoặc $m < - 5$ . Do đó phương trình $\frac{x^{2} + x + 4}{x + 1} = m$ có hai nghiệm phân biệt khi $m > 3$ hoặc $m < - 5$ .