Giải bài 9 trang 125 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại E và cắt (O’) tại F (E và F khác A). Biết điểm A nằm trong đoạn EF. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AE và AF (H.5.49).

a) Chứng minh rằng tứ giác OO’KI là một hình thang vuông.

b) Chứng minh rằng $I K = \frac{1}{2} E F$ .

c) Khi d ở vị trí nào (d vẫn qua A) thì OO’KI là một hình chữ nhật?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh $O I ⊥ d$ , $K O^{'} ⊥ d$ suy ra OI//KO’. Từ đó chứng minh được tứ giác OO’KI là một hình thang vuông.

b) Ta có: $A E = 2 A I$ , $A F = 2 A K$ nên $E F = A E + A F = 2 (A I + A K) = 2 I K$ nên $I K = \frac{1}{2} E F$ .

c) + Hình thang OO’KI là hình chữ nhật khi IK//OO’.

Lời giải chi tiết

(H.5.50)

a) $Δ$ AOE là tam giác cân tại O (OA=OE) có OI là đường trung tuyến (vì I là trung điểm của AE) nên OI cũng là đường cao, tức là $\hat{A I O} = 90^{o}$ hay $O I ⊥ d$ . Tương tự, đối với tam giác AO’F, ta có $\hat{A K O^{'}} = 90^{o}$ hay $K O^{'} ⊥ d$ . Do đó, OI//KO’ (cùng vuông góc với d).

Tứ giác OO’KI có: OI//KO’, $\hat{O^{'} K I} = 90^{o}$ nên là hình thang vuông.

b) Theo đề bài, $E I = I A$ và $A K = K F$ nên ta có $A E = 2 A I$ và $A F = 2 A K$ .

Ta có: $E F = A E + A F = 2 A I + 2 A K = 2 (A I + A K) = 2 I K$ . Do đó, $I K = \frac{1}{2} E F$ .

c) Khi d đi qua A thì tứ giác OO’KI luôn là hình thang vuông.

Nếu hình thang vuông đó là hình chữ nhật thì IK//OO’, hay d//OO’.

Ngược lại, nếu d//OO’ thì IK//OO’ nên OO’KI là hình chữ nhật.

Vậy để tứ giác OO’KI là hình chữ nhật thì d//OO’.