Giải bài 9 trang 18

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ , bán kính 1 cm. Đặt $\hat{A} = α (0 < α < π)$ .

a) Viết biểu thức tính diện tích $S$ của tam giác $A B C$ theo $α$ .

b) Tìm diện tích lớn nhất của tam giác $A B C$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác để tính diện tích $S (α)$ , sau đó tìm giá trị lớn nhất của hàm số $S (α)$ trên khoảng $(0; π)$ .

Lời giải chi tiết

a) Gọi $M$ là trung điểm của $B C$ , ta có:

$\hat{M O C} = 2 \hat{O A C} = \hat{B A C} = α$ .

Do đó: $A M = A O + O M = 1 + \cos α, B C = 2 M C = 2 \sin a$ .

Suy ra:

$\begin{array}{l} S = \frac{1}{2} A M . B C = \frac{1}{2} 2 \sin α (1 + \cos α) = \sin α (1 + \cos α) \\ = \sin α + \sin α \cos α = \sin α + \frac{1}{2} \sin 2 α \end{array}$

b) Xét hàm số $S (α) = \sin α + \frac{1}{2} \sin 2 α$ trên khoảng $(0; π)$ .

Ta có: $S^{'} (α) = \cos α + \frac{1}{2} .2 \cos 2 α = \cos α + \cos 2 α = 2 \cos^{2} α + \cos α - 1$

$S^{'} (α) = 0 \Leftrightarrow \cos α = \frac{1}{2}$ hoặc $\cos α = - 1$

$α = \frac{π}{3}$ hoặc $α = π$ (loại)

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng $(0; π)$ :

Từ bảng biến thiên, ta thấy $max_{(0; π)} S (α) = S (\frac{π}{3}) = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ .

Vậy tam giác $A B C$ có diện tích lớn nhất bằng $\frac{3 \sqrt{3}}{4} (c m^{2})$ .