Giải bài 9 trang 29 vở thực hành Toán 8

Biết số tự nhiên a chia 3 dư 2. Chứng minh rằng a2a2{a^2} chia 3 dư 1.

Đề bài

Biết số tự nhiên a chia 3 dư 2. Chứng minh rằng $a^{2}$ chia 3 dư 1.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Lời giải chi tiết

Vì a chia 3 dư 2 nên ta có thể viết $a = 3 n + 2, n \in N$ . Ta có

$\begin{array}{l} a^{2} = {(3 n + 2)}^{2} = 9 n^{2} + 12 n + 4 \\ = 9 n^{2} + 12 n + 3 + 1 \\ = 3. (3 n^{2} + 4 n + 1) + 1. \end{array}$

Vì $3 ⋮ 3$ nên tích $3. (3 n^{2} + 4 n + 1)$ chia hết cho 3 và do đó $3. (3 n^{2} + 4 n + 1) + 1$ chia 3 dư 1. Vậy $a^{2}$ chia 3 dư 1.