Giải bài 9 trang 32

Đề bài

Cho hàm số $y = \frac{x^{2} + 2 x - 2}{x - 1}$

a) Tìm toạ độ giao điểm $I$ của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

b) Với $t$ tuỳ ý $(t \neq 0)$ , gọi $M$ và $M^{'}$ lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là $x_{M} = x_{I} - t$ và $x_{M^{'}} = x_{I} + t$ . So sánh các tung độ $y_{M}$ và $y_{M^{'}}$ .

Từ đó, suy ra rằng hai điểm $M$ và $M^{'}$ đối xứng với nhau qua $I$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x)$ hoặc $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ , nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:

$lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = + \infty; lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = - \infty; lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = + \infty; lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = - \infty$

thì đường thẳng $x = x_{0}$ là đường tiệm cận đứng.

‒ Tìm tiệm cận xiên $y = a x + b (a \neq 0)$ :

$a = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x}$ và $b = lim_{x \to + \infty} [f (x) - a x]$ hoặc

$a = lim_{x \to - \infty} \frac{f (x)}{x}$ và $b = lim_{x \to - \infty} [f (x) - a x]$

‒ Để chứng minh rằng hai điểm $M$ và $M^{'}$ đối xứng với nhau qua $I$ , ta chứng minh $I$ là trung điểm của $M M^{'}$ .

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = R ∖ {1}$ .

Ta có:

• $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = lim_{x \to 1^{-}} (\frac{x^{2} + 2 x - 2}{x - 1}) = - \infty; lim_{x \to 1^{+}} f (x) = lim_{x \to 1^{+}} (\frac{x^{2} + 2 x - 2}{x - 1}) = + \infty$

Vậy $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

• $a = lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} + 2 x - 2}{x (x - 1)} = 1$ và

$b = lim_{x \to + \infty} [f (x) - x] = lim_{x \to + \infty} [\frac{x^{2} + 2 x - 2}{x - 1} - x] = lim_{x \to + \infty} \frac{3 x - 2}{x - 1} = 3$

Vậy đường thẳng $y = x + 3$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy $I (1; 4)$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

b) Ta có: $x_{M} = x_{I} - t = 1 - t \Rightarrow y_{M} = \frac{x_{M}^{2} + 2 x_{M} - 2}{x_{M} - 1} = \frac{{(1 - t)}^{2} + 2 (1 - t) - 2}{(1 - t) - 1} = \frac{- t^{2} + 4 t - 1}{t}$

$x_{M^{'}} = x_{I} + t = 1 + t \Rightarrow y_{M^{'}} = \frac{x_{M^{'}}^{2} + 2 x_{M^{'}} - 2}{x_{M^{'}} - 1} = \frac{{(1 + t)}^{2} + 2 (1 + t) - 2}{(1 + t) - 1} = \frac{t^{2} + 4 t + 1}{t}$

Vì:

$\begin{array}{l} x_{M} + x_{M^{'}} = (x_{I} - t) + (x_{I} + t) = 2 x_{I}; \\ y_{M} + y_{M^{'}} = \frac{- t^{2} + 4 t - 1}{t} + \frac{t^{2} + 4 t + 1}{t} = \frac{(- t^{2} + 4 t - 1) + (t^{2} + 4 t + 1)}{t} = 8 = 2 y_{I} \end{array}$

nên $I$ là trung điểm của $M M^{'}$ .

Vậy hai điểm $M$ và $M^{'}$ đối xứng với nhau qua $I$ .