Giải bài 9 trang 37

Đề bài

Một lò xo được làm từ một sợi dây kim loại. Gọi $d$ là đường kính (trung bình) của sợ dây kim loại và $D$ là đường kính (trung bình) của lò xo (Hình 7). Ki lò xo đứng lên mặt đất thì nó nén lại bởi trọng lượng $P$ của lò xo, vật chất trong dây kim loại chịu ứng suất lớn nhất $S$ tại các điểm trên bè mặt sợi dây mà khoảng cách từ những điểm đó đến đường tâm của lò so là nhỏ nhất.

Biết rằng $S$ được cho bởi công thức:

$S=\frac{8PD}{\pi d^3}\left[\frac{\frac{4D}{d}-1}{4\left(\frac{D}{d}-1\right)}+\frac{0,615d}{D}\right].$

a) Giả sử sợi dây kim loại là cố định. Hỏi ta phải cuộn sợi dây kim loại đó thành lò xo với đường kình $D$ bằng bao nhiêu để ứng xuất $S$ là nhỏ nhất?

b) Giả sử lò xo có đường kính $D$ cố định. Hỏi ta phải chọn loại dây kim loại với đường kính $d$ bằng bao nhiêu để ứng suất $S$ là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

a) Khi sợi dây kim loại cố định thì $d$ và $P$ là các hằng số.

Đặt $a=\frac{D}{d}(a>0).$

Khi đó ta có hàm số $S\left(a\right)=\frac{8Pa}{\pi d^2}\left[\frac{4a-1}{4(a-1)}+\frac{0,615}{a}\right]=\frac{8P}{\pi d^2}\left[\frac{4a^2-a}{4(a-1)}+0,615\right]$ với $a>0.$

Ta có: $S^{\prime }\left(a\right)=\frac{8P}{\pi d^2}\left[\frac{(8a-1).4(a-1)-(4a^2-a).4}{16{(a-1)}^2}\right]=\frac{2P}{\pi d^2}.\frac{4a^2-8a+1}{{(a-1)}^2}.$

Do đó $S^{\prime }\left(a\right)=0\iff 4a^2-8a+1=0\iff [\begin{array}{c}a=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\\ a=\frac{2+\sqrt{3}}{2}\end{array}$

Ta có bảng biến thiên:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta có $\underset{(0;+\infty )}{min}S\left(a\right)=S\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)$ tại $a=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$ hay $\frac{D}{d}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$ suy ra $D=\frac{2+\sqrt{3}}{2}d.$

b) Với $d>0$ ta có:

$S\left(d\right)=\frac{8PD}{\pi D^2}\left[\frac{4\frac{D}{d}-1}{4\left(\frac{D}{d}-1\right)}+\frac{0,615d}{D}\right]=\frac{8P}{\pi D^2}.{\left(\frac{D}{d}\right)}^3.\left[\frac{4\frac{D}{d}-1}{4\left(\frac{D}{d}-1\right)}+\frac{0,615d}{D}\right]$

Đặt $a=\frac{D}{d}(a>0).$

Khi đó ta có hàm số $S\left(a\right)=\frac{8P{a}^3}{\pi D^2}.\left[\frac{4a-1}{4\left(a-1\right)}+\frac{0,615}{a}\right]=\frac{8P}{\pi D^2}.\left[\frac{4a^4-a^3}{4\left(a-1\right)}+0,615a^2\right]$

Ta có $S^{\prime }\left(a\right)=\frac{8P}{\pi D^2}.\left[\frac{(16a^3-3a^2).4(a-1)-(4a^4-a^3).4}{16{\left(a-1\right)}^2}+1,23a\right]$

$S^{\prime }\left(a\right)=\frac{8P}{\pi D^2}.\left[\frac{12a^4-18a^3+3a^2}{4{\left(a-1\right)}^2}+1,23a\right]=\frac{8P}{\pi D^2}.\left[\frac{12a^4-18a^3+3a^2+1,23a.4{\left(a-1\right)}^2}{4{\left(a-1\right)}^2}\right]$

$S^{\prime }\left(a\right)=\frac{2P}{\pi D^2}.\frac{12a^4-13,08a^3-6,84a^2+4,92a}{{\left(a-1\right)}^2}.$

Do đó $S^{\prime }\left(a\right)=0\iff 12a^4-13,08a^3-6,84a^2+4,92a=0\iff [\begin{array}{c}x=0\left(ktm\right)\\ x\approx 1,285\\ x\approx 0,476\end{array}$

Ta có bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có $\underset{(0;+\infty )}{min}S\left(a\right)=S(1,285)$ tại $a\approx 1,285$ hay $\frac{D}{d}\approx 1,285$ suy ra $d\approx \frac{D}{1,285}.$