Giải bài 9 trang 39

Đề bài

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh:

a) $n^{5} - n$ chia hết cho 5 $\forall n \in N *$

b) $n^{7} - n$ chia hết cho 7 $\forall n \in N *$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh mệnh đề đúng $\forall n \in N *$ thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với $n = 1$

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên $n = k \geq 1$ và chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1.$ Kết luận.

Lời giải chi tiết

a) $n^{5} - n$ chia hết cho 5 $\forall n \in N *$

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với $n = 1$

+ $V T = 1^{5} - 1 = 0 ⋮ 5$

=> Mệnh đề đúng với $n = 1$

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên $n = k \geq 1$ và chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1.$ Kết luận.

+ Giả sử mệnh đề đúng với $n = k \geq 1$ , tức là: $k^{5} - k ⋮ 5$

+ Chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1$ , tức là ${(k + 1)}^{5} - (k + 1) ⋮ 5$

Thật vậy, xét:

$\begin{array}{l} {(k + 1)}^{5} - (k + 1) = (k + 1) [{(k + 1)}^{4} - 1] = (k + 1) ({(k + 1)}^{2} + 1) (k + 1 - 1) (k + 1 + 1) \\ = k (k + 1) (k + 2) ({(k + 1)}^{2} - 4 + 5) = k (k + 1) (k + 2) [(k + 1 - 2) (k + 1 + 2) + 5] \\ = (k - 1) k (k + 1) (k + 2) (k + 3) + 5 k (k + 1) (k + 2) \end{array}$

+ Ta thấy $(k - 1) k (k + 1) (k + 2) (k + 3)$ là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp à $(k - 1) k (k + 1) (k + 2) (k + 3)$ chia hết cho 5

+ $5 k (k + 1) (k + 2)$ chia hết cho 5

$\Rightarrow {(k + 1)}^{5} - (k + 1) ⋮ 5$ Suy ra điều phải chứng minh

b) $n^{7} - n$ chia hết cho 7 $\forall n \in N *$

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với $n = 1$

+ $V T = 1^{7} - 1 = 0 ⋮ 7$

=> Mệnh đề đúng với $n = 1$

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên $n = k \geq 1$ và chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1.$ Kết luận.

+ Giả sử mệnh đề đúng với $n = k \geq 1$ , tức là: $k^{7} - k ⋮ 7$

+ Chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1$ , tức là ${(k + 1)}^{7} - (k + 1) ⋮ 7$

Thật vậy, xét:

$\begin{array}{l} {(k + 1)}^{7} - (k + 1) = k^{7} + C_{7}^{1} k^{6} + C_{7}^{2} k^{5} + C_{7}^{3} k^{4} + C_{7}^{4} k^{3} + C_{7}^{5} k^{2} + C_{7}^{6} k - k \\ = (k^{7} - k) + (C_{7}^{1} k^{6} + C_{7}^{2} k^{5} + C_{7}^{3} k^{4} + C_{7}^{4} k^{3} + C_{7}^{5} k^{2} + C_{7}^{6} k) \end{array}$

+ Ta có $k^{7} - k ⋮ 7$

+ $(C_{7}^{1} k^{6} + C_{7}^{2} k^{5} + C_{7}^{3} k^{4} + C_{7}^{4} k^{3} + C_{7}^{5} k^{2} + C_{7}^{6} k)$ chia hết cho 7 vì $C_{7}^{k}$ với k chạy từ 1 đến 6 là bội của 7 nên luôn chia hết cho 7

$\Rightarrow {(k + 1)}^{7} - (k + 1) ⋮ 7$ Suy ra điều phải chứng minh