Giải bài 9 trang 61

Đề bài

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm $A,B,C$ trên đèn tròn (Hình 11). Độ dài của ba đoạn dây $OA,OB,OC$ đều bằng $L\left(inch\right)$. Trọng lượng của chiếc đèn là $24N$ và bán kính của chiếc đèn là $18inch\left(1inch=2,54cm\right)$. Gọi $F$ là độ lớn của các lực căng $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ trên mỗi sợi dây. Khi đó, $F=F\left(L\right)$ là một hàm số với biến số là $L$.

a) Xác định công thức tính hàm số $F=F\left(L\right)$.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số $F=F\left(L\right)$.

c) Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là $10N$.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $A_1,B_1,C_1$lần lượt là các điểm sao cho $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{F_3}$.

Khi đó, hai vectơ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{O{A}_1}$ cùng phương, do đó tồn tại số $k\ne 0$ sao cho: $\overrightarrow{O{A}_1}=k.\overrightarrow{OA}$.

Tương tự ta có: $\overrightarrow{O{B}_1}=k.\overrightarrow{OB},\overrightarrow{O{C}_1}=k.\overrightarrow{OC}$.

Suy ra, $F=\left|\overrightarrow{F_1}\right|=k.\left|\overrightarrow{OA}\right|=k.L$ (1)

Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{P}$.

Gọi $I$ là tâm của chiếc đèn hình tròn.

Vì tam giác $ABC$ là tam giác đều nên $I$ cũng là trọng tâm của tam giác.

Sử dụng quy tắc trọng tâm trong tam giác $ABC$, ta được:

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OI}\iff \frac{1}{k}\left(\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{O{B}_1}+\overrightarrow{O{C}_1}\right)=3\overrightarrow{OI}\iff \frac{1}{k}.\overrightarrow{P}=3\overrightarrow{OI}\iff \overrightarrow{P}=3k.\overrightarrow{OI}$

Theo giả thiết bài toán, trọng lượng của chiếc đèn là $24N$, do đó $OI=\frac{8}{k}$.

Mặt khác, xét hình chóp tam giác đều $O.ABC$, có $OI$ vuông góc mới mặt phẳng đáy $\left(ABC\right)$. Khi đó: $OI=\sqrt{O{A}^2-A{I}^2}=\sqrt{L^2-{18}^2}=\sqrt{L^2-324}$.

Suy ra, $\frac{8}{k}=\sqrt{L^2-324}\iff k=\frac{8}{\sqrt{L^2-324}}$ thế vào (1) ta được:

$F=\frac{8}{\sqrt{L^2-324}}.L\iff F=\frac{8L}{\sqrt{L^2-324}}\left(N\right)$

b) Ta khảo sát hàm số $F=\frac{8L}{\sqrt{L^2-324}}$ trên $\left(18;+\infty \right)$.

1) Hàm số xác định trên $\left(18;+\infty \right)$.

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\underset{x\to +\infty }{lim}F=8$.

Do đó, đường thẳng $y=8$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to {18}^{+}}{lim}F=+\infty$.

Do đó, đường thẳng $x=18$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên:

$F^{\prime }=\frac{{\left(8L\right)}^{\prime }.\sqrt{L^2-324}-8L.{\left(\sqrt{L^2-324}\right)}^{\prime }}{{\left(\sqrt{L^2-324}\right)}^2}=\frac{-2592}{\left(L^2-324\right)\sqrt{L^2-324}}<0,\forall x\in \left(18;+\infty \right)$.

Hàm số nghịch biến trên $\left(18;+\infty \right)$.

Hàm số không có cực trị trên $\left(18;+\infty \right)$.

3) Đồ thị

Đồ thị hàm số không có giao điểm với trục tung.

Vậy đồ thị hàm số $F=\frac{8L}{\sqrt{L^2-324}}$ trên $\left(18;+\infty \right)$ như sau:

c) Khi lực căng của mỗi sợi dây bằng $10N$, ta có: 

$\frac{8L}{\sqrt{L^2-324}}=10\iff 8L=10\sqrt{L^2-324}\iff 4L=5\sqrt{L^2-324}$

$\iff 16L^2=25\left(L^2-324\right)\iff L^2=900\iff L=30\left(TMK\right)$

Dựa vào đồ thị hàm số $F=\frac{8L}{\sqrt{L^2-324}}$ trên $\left(18;+\infty \right)$ ở phần b), ta thấy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây để lực căng tối đa là $10N$ là $30inch$.