Giải bài 9 trang 72

Đề bài

Ở một khu vực, tất cả trẻ sơ sinh đều đã được tiêm từ 1 đến 4 liều vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi.

Biểu đồ bên biểu diễn tỉ lệ trẻ em theo số liều vắc xin phòng bệnh Viêm gan B đã được tiêm cho đến khi được 18 tháng tuổi ở khu vực đó.

a) Trung bình mỗi trẻ em ở khu vực đó được tiêm bao nhiêu liều vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi?

b) Chọn ngẫu nhiên một cách độc lập 50 trẻ em từ khu vực đó. Gọi X là số trẻ em đã được tiêm ít nhất 3 mũi vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi. Hãy tính kì vọng và phương sai của X.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

Kì vọng của X được tính bởi công thức: $E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + . . . + x_{n} p_{n}$ .

‒ Biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố nhị thức $B (n; p)$ . Khi đó:

$P (X = k) = C_{n}^{k} . p^{k} . {(1 - p)}^{n - k}$ , với $k = 0, 1, . . ., n$ ; $E (X) = n p$ và $V (X) = n p (1 - p)$ .

Lời giải chi tiết

a) Bảng phân bố xác suất của X:

Số liều vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trung bình mỗi trẻ em ở khu vực đó được tiêm trước khi được 18 tháng tuổi là:

$E (X) = 1.0, 05 + 2.0, 15 + 3.0, 3 + 4.0, 5 = 3, 25$

b) Xác suất để trẻ được tiêm ít nhất 3 mũ vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi là: $P (X \geq 3) = P (X = 3) + P (X = 4) = 0, 3 + 0, 5 = 0, 8$ .

Gọi $T$ là phép thử: “Chọn ngẫu nhiên 1 trẻ em ở khu vực đó” và $A$ là biến cố: “Trẻ đã được tiêm ít nhất 3 mũ vắc xin phòng bệnh Viêm gan B trước khi được 18 tháng tuổi”. Gọi X là số lần xảy ra biến cố $A$ khi lặp lại 50 lần phép thử $T$ .

Do phép thử $T$ được thực hiện 50 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố $A$ mỗi lần thử là 0,8 nên X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức $B (50; 0, 8)$ .

Kì vọng của X là: $E (X) = 50.0, 8 = 40$ .

Phương sai của X là: $V (X) = 50.0, 8 (1 - 0, 8) = 8$ .