Giải bài 9 trang 95

Cho Hình 106. Chứng minh

Đề bài

Cho Hình 106. Chứng minh:

a) $A H^{2} = A B . A I = A C . A K$

b) $\hat{A I K} = \hat{A C H}$

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh $Δ A I H ∽ Δ A H B$ và $Δ A K H ∽ Δ A H C$ rồi suy ra các tỉ số đồng dạng.

b) Chứng minh $Δ A B C ∽ Δ A K I$ và suy ra các góc tương ứng.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác AIH và tam giác AHB có:

$\hat{A I H} = \hat{A H B} = 90^{\circ}, \hat{A}$ chung

$\Rightarrow Δ A I H ∽ Δ A H B$ (g-g)

$\Rightarrow \frac{A I}{A H} = \frac{A H}{A B} \Rightarrow A H^{2} = A I . A B$ (1)

Xét tam giác AKH và tam giác AHC có:

$\hat{A K H} = \hat{A H C} = 90^{\circ}, \hat{A}$ chung

$\Rightarrow Δ A K H ∽ Δ A H C$ (g-g)

$\Rightarrow \frac{A K}{A H} = \frac{A H}{A C} \Rightarrow A H^{2} = A K . A C (2)$

Từ (1) và (2) ta có: $A H^{2} = A B . A I = A C . A K$

b) Theo câu a ta có $A B . A I = A C . A K \Rightarrow \frac{A B}{A K} = \frac{A C}{A I}$

Xét tam giác ABC và tam giác AKI có:

$\frac{A B}{A K} = \frac{A C}{A I}, \hat{A}$ chung

$\Rightarrow Δ A B C ∽ Δ A K I$ (c-g-c)

$\Rightarrow \hat{A I K} = \hat{A C B} \Rightarrow \hat{A I K} = \hat{A C H}$