Giải bài tập 1.10 trang 14

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) $y=f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+2x^2+3x-4$ trên đoạn $[-4;1]$

b) $y=f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}-2$ trên khoảng $(-\infty ;0)$

c) $y=f\left(x\right)=\frac{x-2}{2x-3}$ trên nửa khoảng $[2;6)$

d) $y=f\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}$

e) $y=f\left(x\right)=e^x-x$ trên đoạn $[-1;2]$

f) $y=f\left(x\right)=x\ln x$ trên đoạn $[e^{-2};e]$

Lời giải chi tiết

a) $y=f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+2x^2+3x-4$ trên đoạn $[-4;1]$

Hàm số trên xác định trên R

Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=x^2+4x+3$

Xét $f^{\prime }\left(x\right)=0$

$\Rightarrow x^2+4x+3=0$ $\Rightarrow [\begin{array}{c}x=-1\\ x=-3\end{array}$

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có

Hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+2x^2+3x-4$ đạt GTLN trên đoạn $[-4;1]$ tại x = 1 khi đó y = $\frac{4}{3}$

Hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^3}{3}+2x^2+3x-4$ đạt GTNN trên đoạn $[-4;1]$ tại x = -4 và x= -1 khi đó y = $\frac{-16}{3}$

b) $y=f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}-2$ trên khoảng $(-\infty ;0)$

Hàm số trên xác định trên R/{0}

Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}$

Xét $f^{\prime }\left(x\right)=0$

$\Rightarrow x^2-1=0$

$\Rightarrow [\begin{array}{c}x=1\\ x=-1\end{array}$

Ta có bảng biến thiên

Vậy hàm số $y=f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}-2$ đạt GTLN trên khoảng $(-\infty ;0)$ tại x=-1 khi đó y=-4

c) $y=f\left(x\right)=\frac{x-2}{2x-3}$ trên nửa khoảng $[2;6)$

Hàm số xác định trên R/$\left\{\frac{3}{2}\right\}$

Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{{(2x-3)}^2}$

Vì $f^{\prime }\left(x\right)>0$ với $x\in R/\left\{\frac{3}{2}\right\}$

Nên hàm số luôn đồng biến với $x\in R/\left\{\frac{3}{2}\right\}$

Khi đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x-2}{2x-3}$ đạt GTNN trên nửa khoảng $[2;6)$ tại x = 2 khi đó y = 0

d) $y=f\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}$

Hàm số xác định với $\begin{array}{c}x\in [-2;2]\end{array}$

Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}$

Xét $f^{\prime }\left(x\right)=0$$\Rightarrow x=0$

Từ đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm sô $y=f\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}$ đạt GTLN tại x = 0 khi đó y =2

Hàm sô $y=f\left(x\right)=\sqrt{4-x^2}$ đạt GTNN tại x = 2 và x= -2 khi đó y =2

e) $y=f\left(x\right)=e^x-x$ trên khoảng $[-1;2]$

Hàm số xác định trên R

Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=e^x-1$

Xét $f^{\prime }\left(x\right)=0$

$\Rightarrow e^x-1=0$

$\Rightarrow x=0$

Từ đó ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy

Hàm số$y=f\left(x\right)=e^x-x$ đạt GTNN trên khoảng$[-1;2]$ tại x=0 khi đó y=0

Hàm số$y=f\left(x\right)=e^x-x$ đạt GTNN trên khoảng$[-1;2]$ tại x=2 khi đó y=5,9

f) $y=f\left(x\right)=x\ln x$ trên khoảng $[e^{-2};e]$

Hàm số trên xác định với $x\in \left(0;+\infty \right)$

Ta có $f^{\prime }\left(x\right)=\ln x+1$

Xét $f^{\prime }\left(x\right)=\ln x+1$ $\Rightarrow x=e^{-1}$

Từ đó ta có bảng biến thiên là

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số$y=f\left(x\right)=x\ln x$ đạt GTLN trên khoảng $[e^{-2};e]$ tại x=e khi đó y=e

Hàm số$y=f\left(x\right)=x\ln x$ đạt GTLN trên khoảng $[e^{-2};e]$ tại x= $e^{-1}$ khi đó y= $-e^{-1}$