Giải bài tập 1.10 trang 19

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=-x^2+4x+3$;

b) $y=x^3-2x^2+1$ trên $\left[0;+\infty \right)$;

c) $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ trên $\left(1;+\infty \right)$;

d) $y=\sqrt{4x-2x^2}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $y=-x^2+4x+3$, khi đó $y^{\prime }=-2x+4=0\iff x=2$.

Do đó, $maxf\left(x\right)=f\left(2\right)=7$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

b) GTLN, GTNN của $y=x^3-2x^2+1$ trên $\left[0;+\infty \right)$.

Ta có: $y^{\prime }=3x^2-4x$, $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{c}x=0\left(tm\right)\\ x=\frac{4}{3}\left(tm\right)\end{array}$

Bảng biến thiên:

Do đó, $\underset{\left[0;+\infty \right)}{min}y=y\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{-5}{27}$, hàm số không có giá trị lớn nhất.

c) Ta có: $y^{\prime }=\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-2x+3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}$.

$y^{\prime }=0\iff x=1+\sqrt{2}$ (do $x\in \left(1;+\infty \right)$).

Do đó, $\underset{\left(1;+\infty \right)}{min}y=y\left(1+\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}$, hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\left(1;+\infty \right)$.

d) Tập xác định của hàm số là: $D=\left[0;2\right]$.

$y^{\prime }=\frac{{\left(4x-2x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{4x-2x^2}}=\frac{4-4x}{2\sqrt{4x-2x^2}}=\frac{2\left(1-x\right)}{\sqrt{4x-2x^2}}$.

$y^{\prime }=0\iff x=1$ $\left(tm\right)$.

$y\left(0\right)=0$, $y\left(1\right)=\sqrt{2}$, $y\left(2\right)=0$.

Do đó, $\underset{\left[0;2\right]}{max}y=y\left(1\right)=\sqrt{2}$, $\underset{\left[0;2\right]}{min}y=y\left(0\right)=y\left(2\right)=0$.