Giải bài tập 1.11 trang 14

Đề bài

Một thùng chứa nhiên liệu gồm một phần ở giữa là một hình trụ có chiều dài h mét (h > 0) và 2 đầu là các nửa hình cầu bán kính r (r > 0) (Hình 1.11). Biết rằng thể tích của thùng chứa là 144 000 $m^3$. Để sơn mắt ngoài phần hình cầu cần 20 000 cho 1 $m^2$, còn sơn phần ngoài phần hình trụ cần 10 000 đồng cho 1 $m^2$. Xác định r để chi phí cho việc sơn diện tích mắt ngoài thùng chứa (bao gồm diện tích xung quanh hình trụ và diện tích 2 nửa hình cầu) là nhỏ nhất, biết rằng bán kính r không được vượt quá 50m.

Lời giải chi tiết

Ta có thể tích thùng nhiên liệu là:

$V=\frac{4}{3}{r}^3\pi +r^2\pi h\iff 144000\pi =\frac{4}{3}{r}^3\pi +r^2\pi h\iff h=\frac{144000-\frac{4}{3}{r}^3}{r^2}$.

DIện tích xung quanh thùng nhiên liệu là là: $S=4r^2\pi +2rh\pi$.

Số tiền cần để sơn xung quanh thùng nhiên liệu là:

$T=20000.4r^2\pi +10000.2rh\pi =80000r^2\pi +20000rh\pi \left(\frac{144000-\frac{4}{3}{r}^3}{r^2}\right)$

$=80000r^2\pi +2880000000\frac{\pi }{r}-\frac{80000}{3}{r}^2\pi =\frac{160000}{3}{r}^2\pi +2880000000\frac{\pi }{r}$.

Bài toán trở thành tìm r để để hàm số T nhỏ nhất.

Ta có:

$T^{\prime }=\frac{160000}{3}\left(2r\right)\pi -2880000000\frac{\pi }{r^2}=0\iff r^3=27000\iff r=30$.

Vậy để chi phí sơn là nhỏ nhất thì r = 30.