Giải bài tập 1.11 trang 19

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) y=x4−2x2+3$y=x^4-2x^2+3$;

b) y=x.e−x$y=x.e^{-x}$;

c) y=xlnx$y=x\ln x$;

d) y=√x−1+√3−x$y=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}$.

Lời giải chi tiết

a) y′=4x3−4x$y^{\prime }=4x^3-4x$;

y′=0⇔4x3−4x=0⇔[x=0x=±1$y^{\prime }=0\iff 4x^3-4x=0\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=\pm 1\end{array}$

y(0)=3$y\left(0\right)=3$; y(1)=y(−1)=2$y\left(1\right)=y\left(-1\right)=2$.

Do đó, min(−∞;+∞)y=y(1)=y(−1)=2$\underset{\left(-\infty ;+\infty \right)}{min}y=y\left(1\right)=y\left(-1\right)=2$, hàm số không có giá trị lớn nhất vì limx→±∞y=+∞$\underset{x\to \pm \infty }{lim}y=+\infty$.

b) Ta có: y′=e−x−x.e−x$y^{\prime }=e^{-x}-x.e^{-x}$;

y′=0⇔e−x−x.e−x=0$y^{\prime }=0\iff e^{-x}-x.e^{-x}=0$

⇔e−x(1−x)=0⇔x=1$\iff e^{-x}\left(1-x\right)=0\iff x=1$.

Bảng biến thiên:

Do đó, max(−∞;+∞)y=y(1)=1e$\underset{\left(-\infty ;+\infty \right)}{max}y=y\left(1\right)=\frac{1}{e}$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

c) Tập xác định của hàm số là: D=(0;+∞)$D=\left(0;+\infty \right)$.

y′=lnx+x.1x=lnx+1$y^{\prime }=\ln x+x.\frac{1}{x}=\ln x+1$,

y′=0⇔lnx+1=0⇔x=1e$y^{\prime }=0\iff \ln x+1=0\iff x=\frac{1}{e}$ (thỏa mãn).

Bảng biến thiên:

Hàm số không có giá trị lớn nhất, min(0;+∞)y=y(1e)=−1e$\underset{\left(0;+\infty \right)}{min}y=y\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{-1}{e}$.

d) Tập xác định của hàm số là [1;3]$\left[1;3\right]$.

y′=12√x−1−12√3−x$y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}$,

y′=0⇔12√x−1−12√3−x=0$y^{\prime }=0\iff \frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}=0$

⇔√3−x−√x−12√3−x√x−1=0$\iff \frac{\sqrt{3-x}-\sqrt{x-1}}{2\sqrt{3-x}\sqrt{x-1}}=0$

⇔√3−x=√x−1$\iff \sqrt{3-x}=\sqrt{x-1}$

⇒3−x=x−1⇔x=2$\Rightarrow 3-x=x-1\iff x=2$ (thỏa mãn).

y(1)=√2$y\left(1\right)=\sqrt{2}$; y(2)=2$y\left(2\right)=2$; y(3)=√2$y\left(3\right)=\sqrt{2}$.

Do đó, max[1;3]y=y(2)=2$\underset{\left[1;3\right]}{max}y=y\left(2\right)=2$, min[1;3]y=y(1)=y(3)=√2$\underset{\left[1;3\right]}{min}y=y\left(1\right)=y\left(3\right)=\sqrt{2}$.