Giải bài tập 1.12 trang 19

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=2x^3-6x+3$ trên đoạn $\left[-1;2\right]$;

b) $y=x^4-3x^2+2$ trên đoạn $\left[0;3\right]$;

c) $y=x-\sin 2x$ trên đoạn $\left[0;\pi \right]$;

d) $y=\left(x^2-x\right)e^x$ trên đoạn $\left[0;1\right]$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $y^{\prime }=6x^2-6$;

$y^{\prime }=0\iff 6x^2-6=0\iff x=\pm 1$ (thỏa mãn).

$y\left(-1\right)=7$, $y\left(1\right)=-1$, $y\left(2\right)=7$.

Do đó, $\underset{\left[-1;2\right]}{max}y=y\left(2\right)=y\left(-1\right)=7$, $\underset{\left[-1;2\right]}{min}y=y\left(1\right)=-1$.

b) Ta có: $y^{\prime }=4x^3-6x$;

$y^{\prime }=0\iff 4x^3-6x=0$

$\iff x=0;x=\frac{\sqrt{6}}{2}$ (do $x\in \left[0;3\right]$).

$y\left(0\right)=2$; $y\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)=\frac{-1}{4}$; $y\left(3\right)=56$.

Do đó, $\underset{\left[0;3\right]}{max}y=y\left(3\right)=56$, $\underset{\left[0;3\right]}{min}y=y\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)=\frac{-1}{4}$.

c) Ta có: $y^{\prime }=1-2\cos 2x$;

$y^{\prime }=0\iff 1-2\cos 2x=0\iff \cos 2x=\frac{1}{2}$

$\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in Z\right)$.

Mà $x\in \left[0;\pi \right]\Rightarrow x=\frac{\pi }{6};x=\frac{5\pi }{6}$.

$y\left(0\right)=0$; $y\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$; $y\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$; $y\left(\pi \right)=\pi$.

Do đó, $\underset{\left[0;\pi \right]}{max}y=y\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\underset{\left[0;\pi \right]}{min}y=y\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

d) $y^{\prime }=\left(2x-1\right)e^x+\left(x^2-x\right)e^x$

$=e^x\left(x^2+x-1\right)$.

$y^{\prime }=0\iff e^x\left(x^2+x-1\right)=0$

$\iff x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ (do $x\in \left[0;1\right]$).

$y\left(0\right)=0$; $y\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)=\left(2-\sqrt{5}\right)e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$; $y\left(1\right)=0$.

Do đó, $\underset{\left[0;1\right]}{max}y=y\left(0\right)=y\left(1\right)=0$, $\underset{\left[0;1\right]}{min}y=y\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)=\left(2-\sqrt{5}\right)e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$.