Giải bài tập 1.12 trang 19

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y = 2 x^{3} - 6 x + 3$ trên đoạn $[- 1; 2]$ ;

b) $y = x^{4} - 3 x^{2} + 2$ trên đoạn $[0; 3]$ ;

c) $y = x - \sin 2 x$ trên đoạn $[0; π]$ ;

d) $y = (x^{2} - x) e^{x}$ trên đoạn $[0; 1]$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử $y = f (x)$ là hàm số liên tục trên $[a; b]$ và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn $[a; b]$ mà đạo hàm $f^{'} (x) = 0$ .

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[a; b]$ :

1. Tìm các điểm $x_{1}, x_{2}, . . . x_{n} \in (a; b)$ , tại đó $f^{'} (x) = 0$ hoặc không tồn tại.

2. Tính $f (x_{1}); f (x_{2}); . . .; f (x_{n})$ , f(a) và f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

$M = max_{[a; b]} f (x), m = min_{[a; b]} f (x)$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $y^{'} = 6 x^{2} - 6$ ;

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow 6 x^{2} - 6 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$ (thỏa mãn).

$y (- 1) = 7$ , $y (1) = - 1$ , $y (2) = 7$ .

Do đó, $max_{[- 1; 2]} y = y (2) = y (- 1) = 7$ , $min_{[- 1; 2]} y = y (1) = - 1$ .

b) Ta có: $y^{'} = 4 x^{3} - 6 x$ ;

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} - 6 x = 0$

$\Leftrightarrow x = 0; x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ (do $x \in [0; 3]$ ).

$y (0) = 2$ ; $y (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 1}{4}$ ; $y (3) = 56$ .

Do đó, $max_{[0; 3]} y = y (3) = 56$ , $min_{[0; 3]} y = y (\frac{\sqrt{6}}{2}) = \frac{- 1}{4}$ .

c) Ta có: $y^{'} = 1 - 2 \cos 2 x$ ;

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow 1 - 2 \cos 2 x = 0 \Leftrightarrow \cos 2 x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{6} + k π (k \in Z)$ .

Mà $x \in [0; π] \Rightarrow x = \frac{π}{6}; x = \frac{5 π}{6}$ .

$y (0) = 0$ ; $y (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $y (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ; $y (π) = π$ .

Do đó, $max_{[0; π]} y = y (\frac{5 π}{6}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $min_{[0; π]} y = y (\frac{π}{6}) = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

d) $y^{'} = (2 x - 1) e^{x} + (x^{2} - x) e^{x}$

$= e^{x} (x^{2} + x - 1)$ .

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow e^{x} (x^{2} + x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow x = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ (do $x \in [0; 1]$ ).

$y (0) = 0$ ; $y (\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}) = (2 - \sqrt{5}) e^{\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}}$ ; $y (1) = 0$ .

Do đó, $max_{[0; 1]} y = y (0) = y (1) = 0$ , $min_{[0; 1]} y = y (\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}) = (2 - \sqrt{5}) e^{\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}}$ .