Giải bài tập 1.15 trang 19

Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000 (c{m^3}). Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/(c{m^2}), trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/(c{m^2}). Tìm các kích thước của bình (bán kính đáy

Đề bài

Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000 $c m^{3}$ . Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/ $c m^{2}$ , trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/ $c m^{2}$ . Tìm các kích thước của bình (bán kính đáy và chiều cao của bình) để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử $y = f (x)$ là hàm số liên tục trên $[a; b]$ và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn $[a; b]$ mà đạo hàm $f^{'} (x) = 0$ .

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[a; b]$ :

1. Tìm các điểm $x_{1}, x_{2}, . . . x_{n} \in (a; b)$ , tại đó $f^{'} (x) = 0$ hoặc không tồn tại.

2. Tính $f (x_{1}); f (x_{2}); . . .; f (x_{n})$ , f(a) và f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

Ta có: $M = max_{[a; b]} f (x), m = min_{[a; b]} f (x)$ .

Lời giải chi tiết

Gọi bán kính đáy của bình là x (cm, x > 0).

Chiều cao của bình là: $\frac{1000}{π . x^{2}}$ (cm).

Chi phí để sản xuất một chiếc bình là:

$T (x) = 2.1, 2. π . x^{2} + 0, 75. \frac{2000}{x}$

$= 2, 4 π . x^{2} + \frac{1500}{x}$ (nghìn đồng).

Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là thấp nhất thì T(x) là nhỏ nhất.

$T^{'} (x) = 4, 8 π x - \frac{1500}{x^{2}}$ ;

$T^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{\frac{625}{2 π}}$ (thỏa mãn).

Bảng biến thiên:

Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất thì bán kính đáy của bình là $\sqrt[3]{\frac{625}{2 π}}$ (cm) và chiều cao của bình là $\frac{1000}{π . {(\sqrt[3]{\frac{625}{2 π}})}^{2}}$ (cm).