Giải bài tập 1.16 trang 22

Đề bài

Tìm các đường tiệm cận của mỗi hàm số

a) $y = x^{3} - 2 x + x - 9$

b) $y = \frac{x - 5}{4 x + 2}$

c) $y = \frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x + 1}$

d) $y = 2 x - 1 + \frac{2}{x + 1}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét giới hạn các hàm số và áp dụng ghi chú: hàm số $y = \frac{a x^{2} + b x + c}{m x + n}$ ( $a \neq 0, m \neq 0$ đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu) luôn được viết dưới dạng $y = p x + q + \frac{r}{m x + n}$ $(p, q, r \in R)$ . Khi đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = - \frac{n}{m}$ là và đường tiệm cận xiên là $y = p x + q$ _.

Lời giải chi tiết

a) $y = x^{3} - 2 x + x - 9$

Hàm số xác định trên R nên hàm số không có tiệm cận đứng.

Lại có vì y là hàm đa thức nên không có tiệm cận ngang.

b) $y = \frac{x - 5}{4 x + 2}$

Ta có $lim_{x \to + \infty} \frac{x - 5}{4 x + 2} = \frac{1}{4}, lim_{x \to - \infty} \frac{x - 5}{4 x + 2} = \frac{1}{4} .$

Suy ra y = $\frac{1}{4}$ là đường tiệm cận ngang của hàm số.

Ta có $lim_{x \to {(\frac{- 1}{2})}^{+}} \frac{x - 5}{4 x + 2} = - \infty, lim_{x \to {(\frac{- 1}{2})}^{-}} \frac{x - 5}{4 x + 2} = + \infty$ .

Suy ra $x = \frac{- 1}{2}$ đường tiệm cận đứng của hàm số.

c) $y = \frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x + 1}$

Ta có: $lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x + 1} = + \infty, lim_{x \to - \infty} \frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x + 1} = - \infty$ .

Suy ra hàm số không có đường tiệm cận ngang.

Ta có: $lim_{x \to {(\frac{- 1}{2})}^{+}} \frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x + 1} = + \infty, lim_{x \to {(\frac{- 1}{2})}^{-}} \frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x + 1} = - \infty$

Suy ra $x = \frac{- 1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có: $\frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x + 1} = \frac{x}{2} - \frac{7}{4} + \frac{23}{4 (2 x + 1)}$

$\Rightarrow lim_{x \to + \infty} (y - \frac{x}{2} + \frac{7}{4}) = lim_{x \to + \infty} \frac{23}{4 (2 x + 1)} = 0, lim_{x \to - \infty} (y - \frac{x}{2} + \frac{7}{4}) = lim_{x \to - \infty} \frac{23}{4 (2 x + 1)} = 0.$

Suy ra $y = \frac{x}{2} - \frac{7}{4}$ là tiệm cận xiên của đồ thị.

d) $y = 2 x - 1 + \frac{2}{x + 1}$

Ta có: $lim_{x \to + \infty} y = 2 x - 1 + \frac{2}{x + 1} = + \infty, lim_{x \to - \infty} y = 2 x - 1 + \frac{2}{x + 1} = - \infty .$

Suy ra hàm số không có đường tiệm cận ngang.

Ta có: $lim_{x \to - 1^{+}} y = 2 x - 1 + \frac{2}{x + 1} = + \infty, lim_{x \to - 1^{-}} 2 x - 1 + \frac{2}{x + 1} = - \infty .$

Suy ra $x = - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có: $lim_{x \to + \infty} (y - 2 x + 1) = lim_{x \to + \infty} \frac{2}{x + 1} = 0, lim_{x \to + \infty} (y - 2 x + 1) = lim_{x \to + \infty} \frac{2}{x + 1} = 0.$

Suy ra $y = 2 x - 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị.

Hàm số có đường tiệm cận đứng là $x = - 1$ và đường tiệm cận xiên là $y = 2 x - 1$ _.