Giải bài tập 1.20 trang 25

Đề bài

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 144 $m^{2}$ . Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là x (m).

a) Viết biểu thức tính chu vi P(x) (mét) của mảnh vườn.

b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số P(x). Giải thích ý nghĩa thực tiễn của các kết quả này.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng $y = y_{0}$ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y = f (x)$ nếu $lim x \to + \infty f (x) = y_{0}$ hoặc $lim x \to - \infty f (x) = y_{0}$ .

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng $x = x_{0}$ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y = f (x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $lim x \to x_{0}^{+} f (x) = + \infty$ ; $lim x \to x_{0}^{-} f (x) = - \infty$ ; $lim x \to x_{0}^{+} f (x) = - \infty$ ; $lim x \to x_{0}^{-} f (x) = + \infty$ .

Sử dụng kiến thức về khái niệm đường tiệm cận xiên để tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng $y = a x + b (a \neq 0)$ gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số $y = f (x)$ nếu $lim x \to + \infty [f (x) - (a x + b)] = 0$ hoặc $lim x \to - \infty [f (x) - (a x + b)] = 0$ .

Lời giải chi tiết

a) Độ dài cạnh còn lại của mảnh vườn là: $\frac{144}{x}$ (m).

Chu vi của mảnh vườn là:

$P (x) = 2 (x + \frac{144}{x}) = 2 x + \frac{288}{x}$ (m).

b) Với điều kiện $x > 0$ :

$lim x \to + \infty P (x) = lim x \to + \infty (2 x + \frac{288}{x}) = + \infty$ .

Do đó, đồ thị hàm số P(x) không có tiệm cận ngang.

Ta có: $lim x \to 0^{+} y = lim x \to 0^{+} (2 x + \frac{288}{x}) = + \infty$ .

Do đó, đồ thị hàm số P(x) có tiệm cận đứng là $x = 0$ .

Ý nghĩa: Khi cạnh $x$ của mảnh vườn càng nhỏ thì chu vi mảnh vườn càng lớn.

Ta có: $lim x \to + \infty [P (x) - 2 x] = lim x \to + \infty (2 x + \frac{288}{x} - 2 x)$

$= lim x \to + \infty \frac{288}{x} = 0$ .

Do đó, đồ thị hàm số P(x) có tiệm cận xiên là: $y = 2 x$ .

Ý nghĩa: Khi cạnh $x$ của mảnh vườn càng lớn thì sự chênh lệch giữa chu vi mảnh vườn $P(x)$ và đại lượng $2x$ là không đáng kể