Giải bài tập 1.20 trang 34

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $y=x^3+3x^2-4$

b) $y=x^3+4x^2+4x$

c) $y=-2x^3+2$

d) $y=-x^3-x^2-x+1$

Lời giải chi tiết

a)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}\left(x^3+3x^2-4\right)=\infty$

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(x^3+3x^2-4\right)=-\infty$

_{Ta có:} $y^{\prime }=3x^2+6x$

$y^{\prime }=0\leftrightarrow 3x^2+6x=0\leftrightarrow x=-2hoacx=0$

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞,-2) và (0,∞), nghịch biến trên khoảng (-2,0).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0,y_{CT}=-4$

Hàm số đạt cực đại tại $x=-2,y_{CD}=0$

- Vẽ đồ thị:

Giao điểm với trục Oy là (0,-4).

Giao điểm với trục Ox là (-2,0), (1,0).

b)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

$\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}\left(x^3+4x^2+4x\right)=\infty$

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(x^3+4x^2+4x\right)=-\infty$

Ta có: $y^{\prime }=3x^2+8x+4$

$y^{\prime }=0\leftrightarrow 3x^2+8x+4=0\leftrightarrow x=-2$hoặc $x=\frac{-2}{3}$

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ,-2)$ và $\left(\frac{-2}{3},\infty \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(-2,\frac{-2}{3}\right)$.

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\frac{-2}{3},y_{CT}=-\frac{32}{27}$

Hàm số đạt cực đại tại $x=-2,y_{CD}=0$

- Vẽ đồ thị:

Đi qua gốc tọa độ O(0,0).

Giao điểm với trục Ox là (-2,0).

c)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}\left(-2x^3+2\right)=-\infty$

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(-2x^3+2\right)=\infty$

Ta có: $y^{\prime }=-6x^2\le 0\forall x\in R$

 $y^{\prime }=0\leftrightarrow -6x=0\leftrightarrow x=0$

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên R.

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị:

Giao điểm với trục Oy là (0,2).

Giao điểm với trục Ox là (1,0).

d)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

$\underset{x\to +\infty }{lim}y=\underset{x\to +\infty }{lim}\left(-x^3-x^2-x+1\right)=-\infty$

$\underset{x\to -\infty }{lim}y=\underset{x\to -\infty }{lim}\left(-x^3-x^2-x+1\right)=\infty$

Ta có: $y^{\prime }=-3x^2-2x-1<0\forall x\in R$

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên R.

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị

Giao với trục Oy tại điểm (0,1)

Giao với trục Ox tại điểm (0.5437,0)